24.6. Дифференциалы высших порядков

Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х — независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ'(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d²y или d²ƒ(х).

Итак, по определению d²y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).

Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

d²y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(ƒ'(х)dx)'•dx=f"(x)dx•dx=f"(x)(dx)² т. е.

d²y=ƒ"(х)dх².                                            (24.5)

Здесь dx² обозначает (dx)².

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка

d³y=d(d²y)=d(ƒ"(х)dx²)≈f'(x)(dx)³.

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: dⁿy=d(d^n-ly)=f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

Отсюда находим, что , В частности, при n=1,2,3

соответственно получаем:

 

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

 

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х — независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х — функция от кαкой-mo другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:

d²y=d(f'(x)dx)=d(ƒ'(х))dx+ƒ'(х)•d(dx)=ƒ"(х)dx•dx+ƒ'(х)•d²x, т. е.

d²y=ƒ"(х)dx²+ƒ'(х)•d²x.                               (24.6)

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ'(х)•d²х.

Ясно, что если х — независимая переменная, то

d²x=d(dx)=d(l•dx)=dx•d(l)=dx•0=0

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).

<< Пример 24.6

Найти d²y, если у=е^3х и х — независимая переменная.

Решение: Так как у'=3е^3х, у"=9e^3х, то по формуле (24.5) имеем d²y=9e^3xdx².

<< Пример 24.7

Найти d²y, если у=х² и х=t³+1и t— независимая переменная.

Решение: Используем формулу (24.6): так как

у'=2х,    у"=2,    dx=3t²dt,    d²x=6tdt²,

то  d²y=2dx²+2x•6tdt²=2(3t²dt)²+2(t³+1)6tdt²=18t⁴dt²+12t⁴dt²+12tdt²=(30t⁴+12t)dt²

Другое решение: у=х², х=t³+1. Следовательно, у=(t³+1)². Тогда по формуле (24.5)

d²у=у¢¢ •dt²,

d²y=(30t⁴+12t)dt².

§ 25. Исследование функций при помощи производных

25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.

Теорема 25.1 (Ролль). Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], дифференцируема на интервале (а; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения ƒ(а)=ƒ(b), то найдется хотя бы одна точка сє(а;b), в которой производная ƒ'(х) обращается в нуль, т. е. ƒ'(с)=0.

▼ Так как функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, М и m. Если М=m, то функция ƒ(х) постоянна на [a;b] и, следовательно, ее производная ƒ'(х)=0 в любой точке отрезка [a;b].

Если М¹ m, то функция достигает хотя бы одно из значений М или m во внутренней точке с интервала (a;b), так как ƒ(a)=ƒ(b).

Пусть, например, функция принимает значение М в точке х=сє(a;b), т. е. ƒ(с)=М. Тогда для всех хє(a;b) выполняется соотношение

ƒ(с)≥ƒ(х).                                                   (25.1)

Найдем производнуюƒ'(х) в точке х=с:

В силу условия (25.1) верно неравенство ƒ(с+∆х)—ƒ(с)≤0. Если ∆х>0 (т. е. ∆х→0 справа от точки х=с), то

 и поэтому  ƒ'(с)≤0.

Если ∆х<0, то

 и ƒ'(с)≥0.

Таким образом, ƒ'(с)=0

В случае, когда ƒ(с)=m, доказательство аналогичное ▲

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции у=ƒ(х) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.

Теорема 25.2 (Коши). Если функции ƒ(х) и φ(x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (α;b), причем φ'(х)¹ 0 для хє(а;b), то найдется

хотя бы одна точка сє(a;b) такая, что выполняется равенство

▼Отметим, что φ(b)—φ(а)≠0, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с, такая, что φ'(с)=0, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (α;b), так как является линейной комбинацией функций ƒ(х) и φ(х) на концах отрезка она принимает одинаковые значения F(a)=F(b)=0.

На основании теоремы Ролля найдется точка х=сє(a;b) такая, что F'(c)=0. Но

, следовательно,

Отсюда следует

▲

 

Теорема 25.3 (Лагранж). Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], дифференцируема на интервале (α;b), то найдется хотя бы одна точка сє(a;b) такая, что выполняется равенство

 

ƒ(b)-ƒ(a)=ƒ'(с)(b-a).                                      (25.2)

▼ Решение: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив φ(х)=х, находим φ(b)-φ(a)=b-a, φ'(х)=1, φ'(с)=1.

Подставляя эти значения в формулу

получаем

или ƒ(b)-ƒ(a)=ƒ'(с)(b-a) ▲.

Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении:  приращение дифференцируемой функции на отрезке [a;b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем формулу (25.2) в виде

 ,

 где α<с<b. Отношение   есть угловой коэффициент секущей АВ, а величина ƒ'(с) — угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х=с.

Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции y=f(x) найдется точка С(с;ƒ(с)) (см. рис. 142), в которой  касательная к графику функции параллельна секущей АВ.

 

 Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Пусть ƒ'(х)=0 для " xє(α;b). Возьмем произвольные x₁ и х₂ из (а;b) и пусть x₁<х₂. Тогда по теореме Лагранжа $сє(х₁;х₂) такая, что ƒ(х₂)-f(x₁)=ƒ'(с)(х₂-х₁). Но по условию ƒ'(х)=0, стало быть, ƒ'(с)=0, где х₁<с<х₂. Поэтому имеем ƒ(х₂)-ƒ(х₁)=0, т. е. ƒ(х₂)=f(x₁). А так как x₁ и х₂ — произвольные точки из интервала (α;b),то " x є (а;b) имеем ƒ(х)≈с.

 

Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Пусть f₁' (x)=f₂^'(x) при хє(α;b). Тогда (f₁(x)-f₂(x))'=f₁'(x)-f₂'(x)=0. Следовательно, согласно следствию 25.1, функция f₁(х)-f₂(x) есть постоянная, т. е. f₁(x)-f₂(x)=C для " xє(α;b).

<< Пример 25.1

Доказать, что arcsinx + arccosx =p /2, где х є [-1;1].

Решение: Пусть ƒ(х)=arcsinx+arccosx. Тогда " xє(-1;1) имеем

Отсюда следует, что ƒ(х)=С, т.е. arcsinx+arccosx=С. Положив х=0, находим 0+p /2=С, т. е. С=p /2. Поэтому arcsinx+arccosx=p /2. Это равенство выполняется и при х=±1 (проверьте!).

Аналогично доказывается, что arctgх+arcctgх=p /2.

Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Лагранжа к отрезку [х;х+∆х] (∆х>0), будем иметь

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)=ƒ'(с)∆х.                                 (25.3)

Каждое число сє(х;х+∆х) можно записать в виде с=х+θ∆х, где 0<θ<1 (действительно, х<с<х+∆х Þ 0<с-х<∆х Þ 0< <1; положим    =θ  Þ с=х+θ∆х). Формула (25.3) примет вид

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)=ƒ'(х+θ∆х)∆х,  где 0<θ<1.

Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность приближенного равенства ∆у≈dy. Сделаем это, считая, что функция ƒ(х) имеет непрерывную вторую производную ƒ"(х):

∆у-dy=(ƒ(х+∆х)-ƒ(х))-ƒ'(х)∆х=ƒ'(с)∆х-ƒ'(х)∆х=(ƒ'(с)-ƒ'(х))∆х=ƒ"(c₁)(c-х)∆х,

где с₁є(х;с) (рис. 143).

Итак,    ∆у-dy=f"(c₁)(c-х)∆х.    Пусть   

Так как |с-х|<∆х, a ƒ"(c₁)≤M, то получаем оценку |∆у-dy|≤М|∆х|².