§ 19. Непрерывность функций

19. Непрерывность функций

19.1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х_о и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x₀ и в ее окрестности;

2)  функция ƒ(х) имеет предел при х→х_о;

3)  предел функции в точке х_о равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как     то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть β функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение х_о.

Например,  . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции е^x _. 

<< Пример 19.1

Вычислить   

Решение:

Отметим, что 1n(1+х)~х при х→0.

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку х_оє(а;b). Для любого хє(а;b) разность х-х_о называется приращением аргумента х  в точке х₀ и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x₀. Отсюда х=х₀+∆х.

Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х0) называется приращением функции ƒ(х) в точке х₀ и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х₀)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х₀) или ∆у=ƒ(х₀+∆х)-ƒ(х₀) (см. рис. 119).

Очевидно, приращения ∆х и ∆у могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия х→х₀ и х-х₀→0 одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид   или

Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непре-рывности функции в точке: функция у=ƒ(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

<<< Пример 19.2

Исследовать на непрерывность функцию у=sinx.

Решение: Функция у=sinx определена при всех х є R Возьмем произвольную точку х и найдем приращение ∆у:

Тогда

так как произведение ограниченной функции и δ.м.ф. есть δ.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция у=sinx непрерывна в точке х.

Аналогично доказывается, что функция у=cos х также непрерывна.

19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е.  ), а в точке x=b непрерывна слева (т. е.  ).

19.3. Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х₀— точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀.

Например, функция у1/(x-2)  не определена в точке х₀=2 (см. рис. 120).

2. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х→х₀. Например, функция

определена в точке х₀=2    (ƒ(2)=0), однако в точке х₀=2 имеет разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х→2:

3. Функция  определена в  точке  х₀ и  ее  окрестности,  существует  но  этот  предел  не  равен  значению   функции  в  точке x₀: 

Например, функция (см. рис. 122) 

Здесь x₀=0 — точка разрыва:   a g(х₀)=g(0)=2.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х₀называется точкой разрыва первого рода функции у=ƒ(х), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.

 

При этом:

а) если А₁=А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва; б) если А₁≠А₂, то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

Величину |A₁-А₂| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120). у=1/(x-2)  x₀=2 -точка разрыва второго рода.

2. Для функции

х₀=2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен |1-0|=1.

3. Для функции

х₀=0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(х)=1 (вместо g(х)=2) при х=0, разрыв устранится, функция станет непрерывной

<< Пример 19.3

Дана функция ƒ(х)=|x-3|/(x-3). Найти точки разрыва, выяснить их тип.

 Решение: Функция ƒ (х) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х=3. Очевидно,

Следовательно, 

Поэтому в точке х=3 функция имеет разрыв пещюго рода. Скачок функции в этой точке равен 1-(-1)=2.