16.3. Предел функции при х ® ∞

Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→∞, если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Геометрический смысл этого определения таков: для "ε>0  $ М>0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112).

16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)

Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х₀, если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.

Например, функция у=1/(х-2) есть б.б.ф. при х—>2.

Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→х_о и принимает лишь положительные значения, то пишут

если лишь отрицательные значения, то

Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:

Например, у=2х есть б.б.ф. при х→∞.

Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. хєN, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность v_n=n²+1, n є N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки х_о является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у=хsinх.)

Однако, если limƒ(х)=А при х→x₀, где А — конечное число, то функция ƒ(х) ограничена в окрестности точки х_о.

Действительно, из определения предела функции следует, что при х→ х₀ выполняется условие |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х_о-ε; х_о+ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

§ 17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)

17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)

17.1. Определения и основные теоремы

Функция у=f(х) назівается бесконечно малой при х→x_0,если

По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа ε>0 найдется число δ>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-x₀|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|<ε.

Аналогично определяется б.м.ф. при х→х_о+0, х→x₀-0, х→+∞, х→-∞: во всех этих случаях ƒ(х)→0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, ß и т. д.

Пример:х_n=1/n, nєN, — бесконечно малая последовательность.

Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

▼Пусть α(х) и ß(х) — две б.м. функции при х→хо. Это значит, что lim α(х)=0, при х→х₀ т.е. для любого ε>0, а значит, и ε/2>0 найдется число δ₁>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х₀|<δ₁, выполняется неравенство

Пусть δ — наименьшее из чисел δ₁ и δ₂.Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<δ, выполняются оба неравенства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение

Таким образом

Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа б.м. функций.

Теорема 17.2 Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

▼ Пусть функция ƒ(х) ограничена при х→хо. Тогда существует такое число М>0, что

    для всех х из δ₁-окрестности точки х_о. И пусть α(х)—б.м.ф. при х→x₀. Тогда для любого ε >0, а значит, и ε /М> 0 найдется такое число δ₂>О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<δ₂, выполняется неравенство

Обозначим через δ наименьшее из чисел δ₁ и δ₂. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<δ, выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, |ƒ(х)-α(х)|=|ƒ(х)|-|а(х)|<ε.

А это означает, что произведение ƒ(х)•α(х) при х→х₀ есть бесконечно малая функция.▲

 Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема 17.4 . Если функция α(х) — бесконечно малая (α¹ 0), то функция  1/α(х) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ƒ(х)— бесконечно большая, то 1/ƒ(х) — бесконечно малая.

 

А это означает, что функция 1/α(х) есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное α(х) утверждение.▲

Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда х → хо, но они справедливы и для случая, когда х→∞.

<< Пример 17.1

Показать, что функция

при х→1 является бесконечно малой.