25.2. Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида ⁰/₀ и ^∞ /_∞ —, который основан на применении производных.

Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ⁰/₀).

Пусть функции ƒ(х) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ и обращаются в нуль в этой точке: ƒ(х₀)=φ(х₀)=0. Пусть φ'(х)¹ 0 в окрестности точки х₀. Если существует предел

▲Применим к функциям ƒ(х) и φ(х) теорему Коши для отрезка [х₀;х], лежащего в окрестности точки x₀ . Тогда

где с лежит между х₀ и х (рис. 144). Учитывая, что ƒ(х₀)=φ(х₀)=0, получаем

При х→х₀, величина с также стремится к х₀; перейдем в равенстве (25.4) к пределу:

Так как

Поэтому

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания :

1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции ƒ(х) и φ(х) не определены при х=х₀, но

Достаточно положить

2.  Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х→∞. Действительно, положив х=1/z, получим

3.  Если производные ƒ'(х) и φ'(х) удовлетворяют тем же условиям, что и функции ƒ(х) и φ(х), теорему 25.4 можно применить еще раз:

и т. д.

<< Пример 25.2

Найти   

Решение:

<< Пример 25.3

Найти

Решение:

Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида 0/0. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида ∞/∞.

Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ∞/∞).

Пусть функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ (кроме, может быть, точки х₀). в этой окрестности

φ'(х)¹ 0. Если существует предел

<< Пример 25.4

Найти

Решение:

2-й способ:

Раскрытие неопределенностей различных видов

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ^∞/_∞, которые называют основными. Неопределенности вида 0•∞ ,∞-∞ , 1 ^∞ , ∞ ⁰ , 0° сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

1.  Пусть ƒ(х)→0, φ(х)→ ∞ при х→х₀. Тогда очевидны следующие преобразования:

Например,

2.  Пусть ƒ(х)→ ∞ , φ(х)→ ∞ при х→х₀. Тогда можно поступить так:

На практике бывает проще, например,

 

 

3.  Пусть или ƒ(х)→1 и φ(х)→ ∞ , или ƒ(х)→ ∞ и φ(x)→0, или ƒ(х)→0 и φ(х)→0 при х→х₀. Для нахождения предела вида  limƒ(х)^φ(х) при х →х₀ удобно сначала прологарифмировать выражение А=ƒ(х)^φ(х).

<< Пример 25.5

Найти

Решение: Имеем неопределенность вида 1 ^∞ . Логарифмируем выражение  , получим: Затем находим предел:

т. е. .

Отсюда 

Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой» формулой

(использовано основное логарифмическое тождество: ƒ^φ=e^lnƒφ).

<< Пример 25.6

Найти 

Решение:

 

<< Пример 25.7

 Пусть

Найти ƒ'(х). (Дополнительно: найти ƒ⁽ⁿ⁾(0).)

 

Решение: При х ≠ 0 имеем

При х=0 по определению производной:

Делаем замену у=1/l ² - и применяем правило Лопиталя

Таким образом,

Аналогично можнопоказать, что ƒ⁽ⁿ⁾(0)=0.