17. Определение, механический и геометрический смыслы производной

Дана функция . Приращению аргумента этой функции отвечает её приращение , записанное для точки . Возьмём отношение

.

Предел этого отношения при называется производной от функции в точке и обозначается . Итак,

(3)

или

. (4)

Понятно, что в каждой точке эта производная будет своя, поэтому производная также является функцией от . Для обозначения производной применяются также символы . Значение производной в конкретной точке обозначается или . Отметим, что операция нахождения производной называется дифференцированием. Например, для функции имеем

.

При прямолинейном движении точки по закону скорость точки в момент определяется формулой (2):

.

Сравнив ее с формулами (3), (4), заключаем, что в правой части (2) стоит выражение, равное . Итак, скорость точки в момент равна производной от пути по времени . В этом состоит механический смысл производной.

Выясним теперь геометрический смысл производной. Пусть дана функция . Изобразим её график на плоскости и на кривой возьмём точки и (рис. 47 сделан для случая, когда и , а если , то точка будет лежать левее точки ). Через точки , проведём секущую для графика данной функции. Эта секущая образует с осью угол . Из рис. 47 видно, что для треугольника справедливо соотношение

. (5)

Если при стремлении точки к точке с любой стороны секущая стремится к определённому положению , то эта прямая называется касательной к кривой в её точке .

Пусть – угол, образованный этой касательной с осью , тогда при точка стремится к , стремится к и угол стремится к углу . Так как – непрерывная функция, то . Перейдём в (5) к пределу при , тогда . Предел в правой части равен , а согласно (3) предел в левой части последней формулы равен , поэтому .

Итак, вычисленная в точке производная от функции равна , причём угол образован с осью касательной к кривой в её точке с абсциссой . В этом заключается геометрический смысл производной. Иначе говоря, эта производная равна угловому коэффициенту касательной.

18.Непрерывность дифференцируемой функции.

Функция называется дифференцируемой в точке если в этой точке она имеет производную Иначе говоря, существует предел

(6)

здесь

(7)

Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то её называют дифференцируемой в этом интервале.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Приращение функции в точке , соответствующее приращению и определяемое формулой (7), запишем так: В этом соотношении перейдём к пределу при при этом учтём, что предел правой части равен произведению пределов сомножителей: В правой части первый предел, согласно (6), существует и равен (в силу условий теоремы, так как функция в точке дифференцируема). Поэтому Но значит, Согласно второму определению непрерывности функции в точке это означает, что в точке функция непрерывна. Теорема доказана.

Отметим, что утверждение, обратное утверждению теоремы, не справедливо, т. е. нельзя утверждать следующее: если функция непрерывна в точке, то она дифференцируема в этой точке. Сказанное продемонстрируем на примере функции Она непрерывна в точке , так как является основной элементарной функцией (степенной функцией), и в точке определена (равна нулю). Производная этой функции, как будет показано дальше, равна . Но эта производная в точке не существует, т. е. функция в этой точке не дифференцируема, хотя и непрерывна.