- •1.Функция, способы задания
- •3.Сложная функция
- •4.Предел функции.
- •5.Единственность предела. Ограниченные функции.
- •6.Бесконечно малые функции, их свойства.
- •Следствия из теорем 2 – 5
- •7. Бесконечно большая функция, ее связь с бесконечно малой
- •8. Основные теоремы о пределах.
- •9. Первый замечательный предел
- •10.Второй замечательный предел.
- •11.Теорема о пределе возрастающей ограниченной функции. Число e . Натуральные логарифмы.
- •12. Сравнение бесконечно малых функций
- •13. Непрерывность функции в точке и на интервале
- •14. Приращение аргумента и функции. Второе определение непрерывности
- •15. Точки разрыва функции
- •16. Задача об определении скорости
- •17. Определение, механический и геометрический смыслы производной
- •18.Непрерывность дифференцируемой функции.
- •19. Производные алгебраической суммы, произведения, частного функций.
- •20. Производные sin X и cos X .
- •21. Производные tg X и ctg X
- •22. Производная логарифмической функции.
- •23. Производная сложной функции
- •24.Производные степенной и показательной функций.
- •25. Неявная функция и её производная
- •26. Обратная функция и её дифференцирование. Производные обратных
- •Обратная функция и ее производная
- •27. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях.
- •28. Производные и дифференциалы высших порядков
- •29.Теоремы Ферма и Ролля.
- •30. Теоремы Коши и Лагранжа
- •31. Правило Лопиталя
- •32. Возрастание и убывание функции. Монотонность. Интервалы монотонности. Достаточный признак монотонности функции.
- •33,34. Точки экстремума функции. Экстремумы функции. Необходимый признак экстремума. Критические точки. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом интервале.
- •35.Достаточный признак экстремума. Схема исследования функции на экстремум.
- •36. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки её перегиба. Достаточные признаки выпуклости, вогнутости и точек перегиба кривой.
- •37.Асимптоты кривой.
- •38. Общая схема исследования функций и построения графиков
25. Неявная функция и её производная
Функция называется неявной, если она определена соотношением, не разрешенным относительно :
(21)
где – известное выражение. Например, таковыми являются соотношения
, (22)
. (23)
Если соотношение (21) удаётся разрешить относительно то мы придём к явному заданию. Например, из (22) следует Но такой переход не всегда возможен, например, в случае функции, заданной уравнением (23). Однако всегда можно найти производную неявной функции. Для этого достаточно соотношение (21) продифференцировать по помня, что в нём есть функция от Сделаем это применительно к функции, определённой неявно формулой (23). Соотношение (23) продифференцируем по учитывая, что слагаемое – произведение двух функций, а слагаемое – сложная функция. Получим Отсюда найдем искомую производную
(24)
В этой формуле – значение функции, соответствующее взятому , согласно (23). В частности, из соотношения (23) видно, что значению отвечает значение т. к. при этих значениях соотношение (23) выполняется. Поэтому при производная согласно (24), будет равна
26. Обратная функция и её дифференцирование. Производные обратных
тригонометрических функций.
Обратная функция и ее производная
Пусть дана функция . Выразим из этого соотношения через и получим где – аргумент, а – функция. Эта последняя функция называется обратной к функции Ясно, что на плоскости этим функциям отвечает один график, так как они представляют собой разные формы записи одной и той же зависимости.
Отметим следующий геометрически очевидный факт: если график функции является восходящей (нисходящей) кривой, т. е. с увеличением абсциссы точки кривой её ордината увеличивается (уменьшается), то обратная к ней функция существует и будет однозначной, так как каждому значению из области значений функции отвечает лишь одно значение обратной функции
Теорема 12 (о производной обратной функции). Если – функция, обратная по отношению к функции , и то
(25)
или коротко:
Доказательство. Соотношение определяет функцию, обратную к поэтому Полученное соотношение продифференцируем по помня, что в правой части стоит сложная функция. Тогда будем иметь Отсюда или
Производные обратных тригонометрических функций.
Функция является обратной по отношению к функции График функции совпадает с графиком функции . Для любого из интервала на графике функции (рис. 50) имеется бесчисленное множество точек с абсциссой их ординаты – значения функции. Следовательно, эта функция является бесконечнозначной. Возьмём ту часть графика, где ; на этом участке для каждого из интервала имеется лишь одна точка с абсциссой В дальнейшем под функцией всегда будем понимать ветвь функции, значения которой лежат в интервале и .
Теорема 13. Если то или коротко:
Д оказательство. Производная функции равна Так как функция – обратная к то согласно (25) имеем
(26)
М ы нашли искомую производную, но пока она выражена через а не через Но следовательно, нужно выразить через Как известно, но функция принимает значения из интервала Для таких как мы знаем, следовательно, в предыдущей формуле мы должны оставить знак «+». Таким образом, . Так как то Подставив это выражение в (26), получим утверждение теоремы 13.
Ф ункция – обратная по отношению к функции (см. рис. 51) В дальнейшем всегда под функцией будем понимать однозначную ветвь функции , значения которой лежат в интервале Для этой функции справедлива следующая
Теорема 14. Если , то или коротко:
Доказательство проводится аналогично предыдущему.
Функция является обратной по отношению к функции (см. рис. 52). Выберем её однозначную ветвь, для которой В дальнейшем всегда под функцией будем понимать эту однозначную функцию. Для нее справедлива
Теорема 15. Если то или коротко:
Доказательство проводится по аналогии с доказательством теоремы 13.
Функция является обратной по отношению к функции . Выберем её однозначную ветвь, а, именно, в дальнейшем всегда под функцией будем понимать однозначную функцию, значения которой лежат в интервале (рис. 53). Для этой функции справедлива
Теорема 16. Если то или коротко:
Доказательство проводится по той же схеме, что и в случае теоремы 12.