31. Правило Лопиталя
Теорема. Пусть
функции
и
одновременно стремятся к нулю или к
бесконечности при
(
– заданное число) или при
Если при этом отношение производных
имеет предел, то отношение функций также
имеет предел, равный пределу отношения
производных, т. е.
(7)
Доказательство.
Докажем теорему для случая, когда при
обе функции имеют пределы, равные нулю,
и непрерывны в точке
,
т. е.
В теореме говорится о пределе отношения
производных
и
при
Это означает, что указанные производные
мы предполагаем существующими всюду
вблизи
как слева, так и справа.
Возьмём интервал
,
считая, что
– некоторое фиксированное значение,
достаточно близкое к
Тогда в этом интервале, включая
всюду существуют производные
и
Следовательно, в интервале
функции
и
являются непрерывными, поскольку они
дифференцируемы. Кроме того, функции
непрерывны и в точке
Таким образом, функции
и
непрерывны в замкнутом интервале
и дифференцируемы всюду внутри него.
Дополнительно предположим, что
нигде в этом интервале не обращается в
нуль (это предположение является
естественным, т. к.
в формуле (7) стоит в знаменателе). Таким
образом, эти две функции удовлетворяют
всем условиям теоремы Коши. Поэтому для
них и интервала
справедлива указанная теорема, когда
в ней
и
Итак,
Но
и
Следовательно, эта формула примет вид
(8)
Согласно условию
теоремы существует предел отношения
производных
Отсюда согласно определению предела
заключаем, что существует и предел
Этот предел будет равен предыдущему, и
получим
(9)
В соотношении (8)
перейдём к пределу, когда
и
учитывая, что предел правой части
существует. Тогда будет существовать
и предел левой части, равный первому:
(10)
Сравнив формулы
(9) и (10), придем к формуле (7). Теорема для
указанного случая доказана. Случай,
когда
приводится к рассмотренному заменой
при этом
Доказательство, когда
,
,
опускаем.
32. Возрастание и убывание функции. Монотонность. Интервалы монотонности. Достаточный признак монотонности функции.
Функция называется возрастающей в интервале, если большему значению аргумента отвечает большее значение функции, а интервал называется интервалом возрастания функции.
Ф
ункция
называется убывающей
в интервале, если большему значению
аргумента отвечает меньшее значение
функции, а интервал называется интервалом
убывания
функции.
Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности, а сама функция называется монотонной.
Я
Рис. 61
Рис. 61
сно, что график возрастаю-щей функции
на пло-скости
является восходя-щей линией (рис. 61),
так как ордината точки графика функции
увеличивается с увеличением абсциссы
точки графика функции (график убывающей
функции является нисходящей линией).
Теорема 1 (необходимый
признак возрастания и убывания функции).
Если
дифференцируемая функция
возрастает в интервале, то всюду в этом
интервале
;
если она убывает в интервале, то всюду
в нём
Доказательство.
Пусть функция
возрастает
в интервале, тогда по определению при
имеем
Поэтому
Отсюда согласно теореме 14 главы 4 имеем
Для убывающей
функции доказательство аналогично.
Теперь получим достаточный признак возрастания и убывания функции.
Теорема 2.
Если
производная
от функции
всюду в интервале положительна
(отрицательна), то функция
в этом интервале возрастает (убывает).
Если всюду в интервале производная
от функции
равна нулю, то функция
в этом интервале остаётся постоянной
величиной, т. е.
Доказательство. Докажем одно из утверждений теоремы (остальные доказываются аналогично).
Пусть всюду в
интервале
и
– две произвольные точки этого интервала,
причём
т. е.
Возьмём интервал
Для него и рассматриваемой функции
запишем формулу Лагранжа:
(1)
По условию
всюду, поэтому
а так как
в правой части формулы (1) выражение
положительное, т. е.
или
для любого
Это означает, что
– возрастающая функция в рассматриваемом
интервале.