37.Асимптоты кривой.
Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки этой кривой до прямой стремится к нулю, когда указанная точка неограниченно удаляется от начала координат. Рассмотрим два вида асимптот.
В
ертикальные
асимптоты. Дана
кривая с уравнением
Если
– заданное число, то кривая имеет
вертикальную асимптоту с уравнением
Здесь график функции будет иметь вид,
указанный, например, на рис. 73.
На кривой
возьмём точку
с абсциссой
и ординатой
Пусть точка
– основание перпендикуляра, опущенного
из точки
на прямую
Тогда расстоя-ние от точки
до прямой с уравне-нием
равно
По условию при
когда
стремится к нулю, имеем
а точка
кривой неограниченно удаляется от начал
координат. Иначе говоря, когда точка
неограниченно удаляется от начала
координат, расстояние
стремится к нулю. Это значит, что прямая
с уравнением
есть асимптота линии
Наклонные
асимптоты. Пусть
кривая
имеет наклонную асимптоту с уравнением
где
– угловой коэффициент асимптоты, т. е.
угол
образован с осью
асимптотой (рис. 74). На кривой
возьмём точку
с координатами
На прямой
(асимптоте рассматриваемой кривой)
возьмём точку
с той же абсциссой, что и у точки
Её ордината равна
Поэтому
(3)
Т
ак
как мы рассматриваем наклонную асимптоту,
то считаем, что угол
не равен
Это означает, что
Пусть точка
– основание перпендикуляра, опущен-ного
из точки
на асимптоту. Получили прямоугольный
треуголь-ник
.
Из него найдем выражение
поэтому, учитывая, что
будем иметь
(4)
Прямая есть асимптота линии следовательно, расстояние от точки до прямой стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат, т. е. её абсцисса стремится к бесконечности.
Итак,
при
значит, согласно (4)
при
т. е.
Подставим сюда вместо
выражение (3) и получим
(5)
Из (5) видно, что
выражение под знаком предела – бесконечно
малая функция, которую обозначим через
.
Тогда
или
где
при
Это соотношение поделим на
перейдем к пределу при
и учтем, что предел суммы есть сумма
пределов. Получим
Поскольку
при
произведение постоянной
на
есть бесконечно малая величина, а её
предел равен нулю. Аналогично
Предел постоянной
равен
поэтому
(6)
Соотношение (5)
запишем так:
Учтём, что слева предел разности равен
разности пределов и предел постоянной
равен этой постоянной. Поэтому
(7)
Итак, мы показали,
что если линия
имеет наклонную асимптоту
то обязательно существуют два конечных
предела (6) и (7) для чисел
и
входящих в уравнение асимптоты. И
наоборот, если для линии
существуют два конечных предела (6), (7),
то эта линия имеет наклонную асимптоту
В этом можно убедиться, проведя изложенные
выше рассуждения в обратном порядке.
38. Общая схема исследования функций и построения графиков
Общая схема исследования функции заключается в следующем:
находим область определения функции и ее точки разрыва;
отыскиваем сначала критические точки, в которых производная обращается в нуль или не существует; затем находим интервалы возрастания и убывания функции, в которых сохраняет знак, точки максимума и минимума, максимальное и минимальное ее значения;
определяем точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, затем находим интервалы выпуклости и вогнутости функции в которых сохраняет знак, и точки перегиба;
отыскиваем асимптоты кривой.
При построении графика целесообразно сначала изобразить асимптоты.