5.Единственность предела. Ограниченные функции.

Теорема 1. Если функция имеет предел при , то этот предел будет единственным.

Доказательство. Дано, что функция при имеет предел . Докажем, что никакое другое число, например, , не может быть пределом этой функции при .

Возьмём таким малым, чтобы было . Так как – предел функции при , то для выбранного нами числа найдётся такое число , что для всех значения функции будут удовлетворять неравенству (1), следовательно, и (2). Поэтому для всех имеем

. (3)

Предположим, что . Тогда для выбранного выше числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство . Следовательно, для всех будем иметь

. (4)

Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для всех выполняются оба неравенства (3), (4). Из них получим, что . Но это противоречит условию, что , поэтому сделанное предположение должно быть отброшено.

Функция называется ограниченной на некотором множестве значений , если существует такое положительное число , что для всех из множества выполняется неравенство .

Теорема 2. Если функция при имеет предел, то эта функция является ограниченной на некотором бесконечном интервале .

Доказательство. Дано, что . Для числа (как и для любого ) найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство . Согласно свойству абсолютной величины . Поэтому для всех имеет место . Итак, для имеем , следовательно, для всех будем иметь . Это означает, что функция ограничена в интервале . Теорема доказана.

Теорема 3. Если при функция имеет отличный от нуля предел , то функция ограничена на некотором бесконечном интервале .

Теорема доказывается аналогично предыдущей.

6.Бесконечно малые функции, их свойства.

Функция называется бесконечно малой при , если её предел равен нулю, т. е. . Здесь предел , поэтому . С учётом определения предела функции можно дать следующее определение бесконечно малой функции: функция называется бесконечно малой при , если для любого найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство или символически

Например, функция является бесконечно малой при . В самом деле, здесь неравенство запишется так: или , т. е. . Итак, для всех имеем для любого . Это означает, что есть бесконечно малая функция при , и в качестве числа , фигурирующего в определении, можно взять .

При других способах изменения определение бесконечно малой функции будет аналогичным (с учётом определения предела). Например, функция является бесконечно малой при ( – конечное число), если

Свойства бесконечно малой функции

Теорема 4. Если – бесконечно малые функции при , то их сумма также является бесконечно малой функцией, при .

Доказательство. Пусть – произвольное число, которое может быть задано сколь угодно малым. Нужно доказать, что для этого числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство .

Для указанного числа возьмём число . Так как является бесконечно малой функцией, то для числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство

. (5)

Так как – бесконечно малая функция при , то найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство

. (6)

Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для имеют место оба неравенства (5), (6). Поэтому с учётом свойства абсолютной величины суммы имеем для всех

Теорема доказана.

Если – бесконечно малая функция, то - тоже является бесконечно малой функцией. Это ясно из определения, так как . Ясно также, что разность двух бесконечно малых функций есть снова бесконечно малая функция, т. к. разность можно записать в виде суммы .

Доказанная теорема сразу распространяется на любое конечное число слагаемых бесконечно малых функций. Можно сказать, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций – бесконечно малая функция.

Теорема 5. Если – бесконечно малая функция при , а – ограниченная функция на некотором бесконечном интервале , то произведение – бесконечно малая функция при .

Доказательство. Пусть – произвольное число, которое может быть задано сколь угодно малым. Нужно доказать, что для этого числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство Это будет означать, что рассматриваемое произведение есть бесконечно малая функция при . Так как – ограниченная функция в интервале , то существует такое число , что для всех точек интервала , т. е. для всех , имеет место неравенство

. (7)

Так как является бесконечно малой функцией при , то для числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство

. (8)

Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для всех неравенства (7) и (8) выполняются одновременно, поэтому с учётом свойства абсолютной величины произведения для всех имеем

Теорема доказана.