3.6. Условия равновесия плоской системы сил

 

             Систему сил, линии действия которых лежат в одной плоскости, называют плоской. Пусть эта плоскость совпадает с координатной плоскостью Oxy (рис. 3.6). Тогда векторы моментов сил относительно любой точки плоскости и векторы моментов пар сил перпендикулярны плоскости действия сил и полностью определяются своими алгебраическими значениями.

            Алгебраический момент силы относительно точки равен взятому с определенным знаком произведению модуля силы на ее плечо относительно точки

.                                           (3.10)

            Алгебраический момент пары сил равен взятому с определенным знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо

.                                    (3.11)

            Знак «плюс» в формуле (3.10) берем в том случае, когда сила   стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки, знак «минус» соответствует повороту по часовой стрелке. Аналогично определяют и знак момента в формуле (3.11). Введенные таким образом алгебраические моменты  совпадают с моментами сил и пар относительно осиOz, направленной к нам.

            Условия равновесия плоской системы сил получим из уравнений (3.6). Так как все силы лежат в плоскости Oxy, их проекции на ось Oz и моменты относительной осей Ox иOy равны нулю, поэтому 3, 4 и 5-е уравнения выполняются тождественно. Оставшиеся уравнения, используя введенные алгебраические моменты, запишем так:

.                           (3.12)

            Таким образом, для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на две координатные оси и сумма алгебраических моментов всех сил относительно произвольной точки плоскости их действия равнялись нулю.

            Пример 1. На раму AB (рис. 3.7,а) действуют сила F = 2 кН и пара сил, момент которой M = 1 кНм.

            Определить реакции опор.

            Рассмотрим равновесие рамы AB, которую освободим от связей, заменив их действие реакциями (рис. 3.7,б):   – составляющие реакции неподвижного цилиндрического шарнира A;   – реакция подвижного цилиндрического шарнира B, направленная перпендикулярно опорной плоскости.

            Разложим силы   и   на составляющие, параллельные координатным осям:

кН;  кН;

.

Пара сил задана величиной момента и направлением действия.

            Для полученной плоской системы сил запишем три уравнения равновесия:

            При составлении уравнений равновесия целесообразно координатные оси направить перпендикулярно неизвестным силам, а моменты сил вычислять относительно точек пересечения линий действия неизвестных сил, что обеспечит получение наиболее простых уравнений, содержащих минимальное число неизвестных. Из уравнений равновесия получим

 кН;

 кН;

.

            Для проверки правильности решения рассмотрим условие равновесия, не использованное при решении примера. Выберем точку, относительно которой все найденные реакции имеют моменты (точка D, см. рис. 3.7,б), и вычислим сумму моментов всех действующих на раму сил относительно этой точки:

.

            Условие равновесия выполнено.

            Ответ: 

            Отрицательные значения реакций показывают, что действительные направления сил   и  противоположны первоначально выбранным (см. рис. 3.7,б).

            Пример 2. На консольную балку AB, показанную на рис. 3.8,а, действуют сила Р = 1 кН, пара сил, момент которой M = 3 кНм, и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м.

Определить реакцию жесткой заделки А.

В этом примере используем не рассматривавшуюся ранее связь, называемую жесткой заделкой. Она препятствует перемещению точки А и повороту балки вокруг этой точки. На закрепленный конец балки действует распределенная система реактивных сил, которую можно привести к силе, приложенной в точке А, и паре сил. Представим силу составляющими  ,  , а момент пары обозначим через  .

Таким образом, освобождая балку от связи, покажем три составляющие реакции жесткой заделки:  ,  ,   (рис. 3.8,б). Равномерно распределенную нагрузку заменим ее равнодействующей, приложенной в середине нагруженного участка,   кН. Итак, на балку действует плоская система сил и пар сил. Запишем три уравнения равновесия этой системы:

из которых получим

= P = 1 кН;             = 6 кН;

 = 21 + 4,56  3 = 26 кНм.

Для проверки правильности решения вычислим сумму моментов всех сил, действующих на балку, относительно точки В

.

            Ответ:  .