- •Статика Лекция 1. Основные понятия и аксиомы статики. Система сходящихся сил
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Связи и их реакции
- •1.4. Система сходящихся сил
- •1.5. Условия равновесия системы сходящихся сил
- •1.6. Решение задач статики
- •Лекция 2. Теория пар
- •2.1. Момент силы относительно точки и оси
- •2.2. Пара сил и ее момент
- •2.3. Теоремы о парах
- •2.4. Условия равновесия системы пар сил
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 3. Основная теорема статики и условия равновесия пространственной системы сил
- •3.1. Лемма о параллельном переносе силы
- •3.2. Основная теорема статики
- •3.3. Приведение системы сил к двум силам
- •3.4. Условия равновесия пространственной системы сил
- •3.5. Теорема Вариньона
- •3.6. Условия равновесия плоской системы сил
- •Кинематика Лекция 4. Кинематика точки
- •4.1. Некоторые определения
- •4.2. Способы задания движения точки
- •4.3. Определение скорости точки
- •4.4. Определение ускорения точки
- •4.5. Частные случаи движения точки
- •Лекция 5. Простейшие движения твердого тела
- •5.1. Поступательное движение твердого тела
- •5.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5.3. Угловая скорость твердого тела
- •5.4. Угловое ускорение твердого тела
- •5.5. Частные случаи вращательного движения
- •5.6. Скорость и ускорение точки тела, вращающегося вокруг
- •Лекция 6. Сложное движение точки
- •6.1. Основные определения
- •6.2. Определение абсолютной скорости точки
- •6.3. Определение абсолютного ускорения точки
- •Лекция 7. Плоское движение твердого тела
5.5. Частные случаи вращательного движения
Вращательное движение называют равномерным, если угловая скорость тела не изменяется, т.е. = const. Интегрируя это соотношение, получим уравнение равномерного вращения
, (5.7)
где – начальный угол поворота тела.
Вращательное движение называют равнопеременным, если угловое ускорение тела не изменяется, т.е. = const, откуда после интегрирования получим
. (5.8)
Так как из выражения (5.8) следует, что , можно записать уравнение равнопеременного вращения
. (5.9)
Из двух последних равенств нетрудно получить следующее соотношение
. (5.10)
5.6. Скорость и ускорение точки тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси
Рассмотрим точку М, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. Эта точка движется по окружности радиусом h. Зададим движение точки M естественным способом. Начало отсчета криволинейной координаты S выберем в точке O, где окружность пересекается с неподвижной полуплоскостью (рис. 5.4). Тогда OCM = и уравнение движения точки M примет вид:
. (5.11)
Введем естественную координатную систему Mn, орты осей и воспользуемся полученными в 4-й лекции соотношениями.
Скорость точки М:
, (5.12)
ее модуль:
. (5.13)
Ускорение точки М имеет касательную и нормальную составляющие:
. (5.14)
Касательное ускорение
, (5.15)
его модуль
. (5.16)
Нормальное ускорение
, (5.17)
его модуль
. (5.18)
Модуль ускорения точки М
. (5.19)
Угол между вектором ускорения и осью n определим из соотношения:
. (5.20)
Так как угловая скорость и угловое ускорение характеризуют движение тела в целом, из формул (5.12)-(5.20) следует, что скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения, а углы в каждый момент времени одинаковы для всех точек.
Введем в рассмотрение векторы угловой скорости , углового ускорения и радиус-вектор точки M (см. рис. 5.4). Тогда вектор скорости может быть представлен векторным произведением
. (5.21)
Это соотношение имеет название формулы Эйлера.
Легко убедиться в справедливости формулы (5.21). Действительно, правило векторного произведения показывает, что направление вектора совпадает с направлением вектора (см. рис. 5.4). Его модуль:
.
Продифференцируем формулу Эйлера по времени:
или
. (5.22)
Покажем, что две составляющие ускорения точки в формуле (5.22) являются касательным и нормальным ускорениями:
; (5.23)
. (5.24)
Совпадение направлений векторов в левой и правой частях равенств (5.23), (5.24) проверяют по правилу векторного произведения. Их модули:
;
.
Пример. Груз 1 подвешен на нити, намотанной на барабан лебедки радиусом = 0,1 м (рис. 5.5). С барабаном жестко соединена шестерня 2 радиусом = 0,15 м, которая находится в зацеплении с шестерней 3 радиусом = 0,12 м.
Определить скорость и ускорение точки М шестерни 3, находящейся на расстоянии = 0,08 м от оси вращения в момент времени t = 0,2 с, если груз 1 движется по закону (м).
Найдем модуль скорости груза 1: . Такую же скорость имеют все точки обода барабана, поэтому модуль его угловой скорости . Скорость точки касания колес 2 и 3 , откуда определим модуль угловой скорости шестерни 3
,
при t = 0,2 с:
Модуль углового ускорения шестерни 3:
.
Определим модули скорости v, касательного , нормального и полного а ускорений точки М:
= 10·0,08 = 0,8 м/с; = 50·0,08 = 4 м/с2;
= 102·0,08 = 8 м/с2; = 8,94 м/с2.