- •Статика Лекция 1. Основные понятия и аксиомы статики. Система сходящихся сил
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Связи и их реакции
- •1.4. Система сходящихся сил
- •1.5. Условия равновесия системы сходящихся сил
- •1.6. Решение задач статики
- •Лекция 2. Теория пар
- •2.1. Момент силы относительно точки и оси
- •2.2. Пара сил и ее момент
- •2.3. Теоремы о парах
- •2.4. Условия равновесия системы пар сил
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 3. Основная теорема статики и условия равновесия пространственной системы сил
- •3.1. Лемма о параллельном переносе силы
- •3.2. Основная теорема статики
- •3.3. Приведение системы сил к двум силам
- •3.4. Условия равновесия пространственной системы сил
- •3.5. Теорема Вариньона
- •3.6. Условия равновесия плоской системы сил
- •Кинематика Лекция 4. Кинематика точки
- •4.1. Некоторые определения
- •4.2. Способы задания движения точки
- •4.3. Определение скорости точки
- •4.4. Определение ускорения точки
- •4.5. Частные случаи движения точки
- •Лекция 5. Простейшие движения твердого тела
- •5.1. Поступательное движение твердого тела
- •5.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5.3. Угловая скорость твердого тела
- •5.4. Угловое ускорение твердого тела
- •5.5. Частные случаи вращательного движения
- •5.6. Скорость и ускорение точки тела, вращающегося вокруг
- •Лекция 6. Сложное движение точки
- •6.1. Основные определения
- •6.2. Определение абсолютной скорости точки
- •6.3. Определение абсолютного ускорения точки
- •Лекция 7. Плоское движение твердого тела
4.4. Определение ускорения точки
Ускорение точки характеризует изменение ее скорости в рассматриваемой системе отсчета с течением времени.
4.4.1. Векторный способ. Пусть за время t точка переместилась из положения M, где она имела скорость , в положение , где ее скорость стала равной (рис. 4.5). Вектор скорости получил приращение . Средним ускорением точки за интервал времени t называют отношение . Предел среднего ускорения
(4.12)
н азывают ускорением точки в данный момент времени или просто ускорением точки.
Таким образом, ускорение точки – это мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости точки в рассматриваемой системе отсчета. Так как Вектор среднего ускорения лежит в плоскости, образуемой векторами и . При уменьшении t точка приближается к точке М, и плоскость векторов изменяет свое положение в пространстве, поворачиваясь вокруг вектора . Предельное положение этой плоскости называют соприкасающейся плоскостью кривой в точке М (см. рис. 4.2, плоскость Мn). Следовательно, вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 4.5).
Единица измерения ускорения в системе СИ – .
4.4.2. Координатный способ. Представим вектор скорости в виде . Тогда, учитывая неизменность ортов , в соответствии с формулой (4.12) получим ускорение
и его проекции:
. (4.13)
По проекциям ускорения определим его модуль
(4.14)
и направляющие косинусы:
. (4.15)
4.4.3. Естественный способ. Представим вектор скорости в виде (4.11) , тогда из формулы (4.12) получим
. (4.16)
Определим модуль и направление вектора , для чего рассмотрим два случая.
Случай 1. Точка М движется в сторону увеличения координаты S (рис. 4.6,а). За время t она перемещается из положения М в положение , при этом ее координата увеличивается на величину S, а вектор получает приращение , направленное в сторону вогнутости траектории. Вектор направлен перпендикулярно вектору в сторону вогнутости траектории и лежит в соприкасающейся плоскости. Вектор имеет такое же направление, так как координата S возрастает, при этом .
Случай 2. Точка М движется в сторону уменьшения координаты S (рис. 4.6,б). Вектор , а вместе с ним и вектор , направлены в сторону выпуклости траектории. Вектор имеет противоположное направление, так как . Таким образом, вектор всегда направлен по главной нормали к траектории в сторону вогнутости и может быть представлен в виде:
. (4.17)
|
|
Определим модуль вектора . Учитывая, что равнобедренный (см. рис. 4.6,а) и , получим
. (4.18)
Из формул (4.17) и (4.18) следует
.
откуда, учитывая, что , где k – кривизна, а ρ – радиус кривизны траектории в данной точке, получим
. (4.19)
Подставим (4.19) в (4.16)
. (4.20)
Таким образом, вектор ускорения имеет две составляющие: касательную и нормальную.
Касательное ускорение
(4.21)
направлено по касательной к траектории в сторону увеличения координаты S, если алгебраическая скорость точки возрастает, или в сторону уменьшения S, если убывает. Проекция касательного ускорения на ось :
. (4.22)
Нормальное ускорение
(4.23)
всегда направлено по нормали к траектории в сторону вогнутости, его проекция на ось n:
. 4.24)
Так как (рис. 4.7), модуль вектора ускорения находим по формуле
. (4.25)
Касательное ускорение характеризует изменение скорости точки по модулю, а нормальное – по направлению.
Касательное ускорение равно нулю:
1) если точка движется с постоянной алгебраической скоростью;
2) в те моменты времени, когда скорость принимает экстремальные значения.
Нормальное ускорение равно нулю:
1) при прямолинейном движении ( = );
2) в точках перегиба траектории ( = );
3) в те моменты времени, когда скорость точки равна нулю.