- •Статика Лекция 1. Основные понятия и аксиомы статики. Система сходящихся сил
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Связи и их реакции
- •1.4. Система сходящихся сил
- •1.5. Условия равновесия системы сходящихся сил
- •1.6. Решение задач статики
- •Лекция 2. Теория пар
- •2.1. Момент силы относительно точки и оси
- •2.2. Пара сил и ее момент
- •2.3. Теоремы о парах
- •2.4. Условия равновесия системы пар сил
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 3. Основная теорема статики и условия равновесия пространственной системы сил
- •3.1. Лемма о параллельном переносе силы
- •3.2. Основная теорема статики
- •3.3. Приведение системы сил к двум силам
- •3.4. Условия равновесия пространственной системы сил
- •3.5. Теорема Вариньона
- •3.6. Условия равновесия плоской системы сил
- •Кинематика Лекция 4. Кинематика точки
- •4.1. Некоторые определения
- •4.2. Способы задания движения точки
- •4.3. Определение скорости точки
- •4.4. Определение ускорения точки
- •4.5. Частные случаи движения точки
- •Лекция 5. Простейшие движения твердого тела
- •5.1. Поступательное движение твердого тела
- •5.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5.3. Угловая скорость твердого тела
- •5.4. Угловое ускорение твердого тела
- •5.5. Частные случаи вращательного движения
- •5.6. Скорость и ускорение точки тела, вращающегося вокруг
- •Лекция 6. Сложное движение точки
- •6.1. Основные определения
- •6.2. Определение абсолютной скорости точки
- •6.3. Определение абсолютного ускорения точки
- •Лекция 7. Плоское движение твердого тела
3.3. Приведение системы сил к двум силам
Рассмотрим еще один способ приведения системы сил к простейшему виду.
Теорема. Произвольная пространственная система сил эквивалентна двум силам, которые в общем случае не лежат в одной плоскости.
Доказательство
П редположим, что произвольная система сил с помощью теоремы Пуансо приведена к силе , приложенной в центре приведения O, и паре сил, момент которой (рис. 3.4). Выберем силы , образующие пару , так, чтобы
,
приложим силу в точке O. Затем, воспользовавшись аксиомой параллелограмма сил, сложим силы и , в результате чего получим систему двух сил , в общем случае не лежащих в одной плоскости.
Итак, ,
а значит теорема доказана.
3.4. Условия равновесия пространственной системы сил
Теорема. Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольного центра O равнялись нулю:
. (3.4)
Доказательство
Докажем необходимость условий (3.4). Предположим, что система сил уравновешена, и приведем ее к двум силам 0. Тогда в соответствии с 1-й аксиомой статики эти силы должны действовать вдоль одной прямой и . Так как , получим
, (3.5)
где , так как – пара сил и поэтому из формулы (3.5) следует, что . Так как силы и направлены вдоль одной прямой, линия действия последней проходит через точку O, в которой приложена сила (см. рис. 3.4), и поэтому главный момент
,
т.е. необходимость доказана.
Теперь докажем достаточность. Предположим, что и , тогда система сходящихся сил и система пар, полученные при доказательстве теоремы Пуансо, уравновешены. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю. Теорема доказана.
Спроецируем векторные равенства (3.4) на оси координатной системы Oxyz и запишем
откуда с учетом (3.1) и (3.2) получим шесть уравнений равновесия пространственной системы сил:
(3.6)
Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей равнялись нулю.
3.5. Теорема Вариньона
Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно произвольной точки равен сумме моментов всех сил системы относительной этой же точки.
Доказательство
Р ассмотрим систему сил , имеющую равнодействующую , приложенную в точке A (рис. 3.5). Приложим уравновешивающую силу в этой же точке и получим систему сил 0, главный момент которой относительно точки O
. (3.7)
Но
и поэтому из выражения (3.7) получим
,
откуда следует
, (3.8)
что и нужно было доказать.
Теорема Вариньона справедлива и для моментов сил относительно координатных осей. Действительно, спроецируем векторное равенство (3.8) на оси системы Oxyz и получим
. (3.9)