- •Статика Лекция 1. Основные понятия и аксиомы статики. Система сходящихся сил
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Связи и их реакции
- •1.4. Система сходящихся сил
- •1.5. Условия равновесия системы сходящихся сил
- •1.6. Решение задач статики
- •Лекция 2. Теория пар
- •2.1. Момент силы относительно точки и оси
- •2.2. Пара сил и ее момент
- •2.3. Теоремы о парах
- •2.4. Условия равновесия системы пар сил
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 3. Основная теорема статики и условия равновесия пространственной системы сил
- •3.1. Лемма о параллельном переносе силы
- •3.2. Основная теорема статики
- •3.3. Приведение системы сил к двум силам
- •3.4. Условия равновесия пространственной системы сил
- •3.5. Теорема Вариньона
- •3.6. Условия равновесия плоской системы сил
- •Кинематика Лекция 4. Кинематика точки
- •4.1. Некоторые определения
- •4.2. Способы задания движения точки
- •4.3. Определение скорости точки
- •4.4. Определение ускорения точки
- •4.5. Частные случаи движения точки
- •Лекция 5. Простейшие движения твердого тела
- •5.1. Поступательное движение твердого тела
- •5.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5.3. Угловая скорость твердого тела
- •5.4. Угловое ускорение твердого тела
- •5.5. Частные случаи вращательного движения
- •5.6. Скорость и ускорение точки тела, вращающегося вокруг
- •Лекция 6. Сложное движение точки
- •6.1. Основные определения
- •6.2. Определение абсолютной скорости точки
- •6.3. Определение абсолютного ускорения точки
- •Лекция 7. Плоское движение твердого тела
6.3. Определение абсолютного ускорения точки
Рассмотрим случай переносного вращательного движения и запишем формулу (6.5) в виде:
. (6.6)
Продифференцируем соотношение (6.6) по времени
. (6.7)
Здесь – абсолютное ускорение точки М;
– вектор углового ускорения подвижной системы координат; ; ; ; – относительное ускорение точки М;
.
Теперь из формулы (6.7) получим
. (6.8)
Первые два слагаемых этого равенства представляют собой в соответствии с выражением (5.22) ускорение точки подвижной системы координат, совпадающей с движущейся точкойМ, т.е. являются ее переносным ускорением . Последнее слагаемое называют кориолисовым ускорением
. (6.9)
К ориолисово ускорение направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , в ту сторону, откуда поворот вектора к вектору на наименьший угол виден против часовой стрелки (рис. 6.2).
Модуль кориолисова ускорения:
, (6.10)
где – угол между векторами и .
Для определения модуля и направления кориолисова ускорения можно использовать правило Жуковского: «Для построения вектора кориолисова ускорения надо спроецировать вектор на плоскость, перпендикулярную вектору , умножить полученную проекцию на и повернуть полученный вектор на вокруг вектора в сторону переносного вращения» (рис. 6.3). Легко проверить, что направление полученного вектора совпадает с направлением вектора , определенным по формуле (6.9), его модуль .
Кориолисово ускорение равно нулю в следующих случаях:
1) в те моменты времени, когда относительная скорость равна нулю ;
2) если векторы и коллинеарны, т.е. угол между ними = 0 или ;
3) в те моменты времени, когда угловая скорость переносного движения равна нулю .
Итак, из уравнения (6.8) получим
. (6.11)
Этот результат выражает содержание теоремы Кориолиса: «Абсолютное ускорение точки в случае переносного вращательного движения равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений».
В общем случае переносное и относительное ускорения могут быть представлены в виде сумм касательных и нормальных составляющих, и тогда формула (6.11) примет вид:
. (6.12)
Рассмотрим случай переносного поступательного движения. Запишем формулу (6.5) так:
и продифференцируем ее по времени, учитывая, что при поступательном переносном движении :
,
где
;
– абсолютное, переносное и относительное ускорения точки М.
Таким образом, при переносном поступательном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного и относительного ускорений:
. (6.13)
Пример. Круглая пластина радиусом R = 60 см вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости пластины и проходящей через точку О, лежащую на ее ободе, по закону рад (рис. 6.4). По ободу пластины движется точка М, положение которой определяется координатой см.
Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1 с.
Положение точки М в заданный момент времени определим с помощью центрального угла
рад = .
Найдем угловую скорость и угловое ускорение пластины:
4 рад/с;
8 рад/c2 = const,
а также их модули:
.
Так как и , пластина вращается в сторону увеличения угла ускоренно. Треугольник ОСМ равносторонний, поэтому ОМ = R = 60 см. Абсолютная скорость точки М: . Проекция относительной скорости на касательную М
см/с.
Модуль относительной скорости
125,66 см/с.
Модуль переносной скорости
см/с; .
Модуль абсолютной скорости точки М:
=
= 321,8 см/с.
Абсолютное ускорение точки М
.
Проекция относительного касательного ускорения на ось М:
– 251,32 см/с2,
его модуль
= 251,32 см/с2.
Модуль относительного нормального ускорения
= 263,17 см/с2.
Модули переносного касательного и нормального ускорений:
см/с2; ;
см/с2; .
Направление вектора кориолисова ускорения получим по правилу Жуковского, повернув вектор относительной скорости на в направлении вращения пластины. Вектор угловой скорости переносного движения направлен вдоль оси вращения, поэтому и модуль кориолисова ускорения найдем так:
см/с2.
Определим проекции абсолютного ускорения на оси M и Mn, для чего спроецируем на них векторное равенство (6.14),
см/с2;
см/с2.
Модуль абсолютного ускорения точки М:
см/с2.