- •Глава I элементы линейного программирования Лекция 1
- •1. Элементы аналитической геометрии
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Решение систем т линейных уравнений с двумя переменными
- •Лекция 2
- •2. Графический метод
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Алгоритм решения задач
- •2.3. Выбор оптимального варианта выпуска изделий
- •Лекция 3
- •3. Симплексный метод
- •3.1. Общая постановка задачи
- •3.2. Алгоритм симплексного метода
- •Лекция 3.
- •3.3. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия
- •3.4. Альтернативный оптимум
- •Лекция 4
- •4. Двойственность в линейном программировании
- •4.1. Виды двойственных задач и составление их математических моделей
- •4.2. Основные теоремы двойственности
- •Исходная задача
- •Двойственная задача
- •Исходная задача
- •Двойственная задача
- •Лекция 6
- •5. Транспортная задача
- •5.1. Общая постановка задачи
- •5.2. Нахождение исходного опорного решения
- •5.3. Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю
- •5.4. Проверка найденного опорного решения на оптимальность
- •5.5. Переход от одного опорного решения к другому
- •5.6. Альтернативный оптимум в транспортных задачах
- •Вырожденность в транспортных задачах
- •Открытая транспортная задача
- •Определение оптимального варианта перевозки грузов
- •Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач.
- •Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования
- •Лекция 10 Целочисленное программирование
- •Параметрическое программирование
- •1. Постановка задачи
- •2. Линейное программирование с параметром в целевой функции
- •Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
- •Транспортная параметрическая задача
- •Лекция Задача о назначениях
- •Нелинейное программирование Общая постановка задачи
- •Графический метод
- •Дробно-линейное программирование
- •Алгоритм решения
- •Экономическая интерпретация задач дробно-линейного программирования
- •Применение дробно-линейного программирования для определения себестоимости изделий
- •Сведение экономико-математической модели дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
- •Метод множителей Лагранжа
- •Динамическое программирование
- •Оптимальная стратегия замены оборудования
- •Сетевые модели
- •Выбор оптимальной стратегии развития предприятия в условиях трансформации рынка
- •Принятие решения о замене оборудования в условиях неопределённости и риска
- •Элементы системы массового обслуживания (смо)
- •1. Формулировка задачи и характеристики смо
- •2. Смо с отказами
- •3. Смо с неограниченным ожиданием
- •4. Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
Исходная задача
Двойственная задача
у1, у2 – произвольные по знаку.
Решив двойственную задачу графическим методом, получим
, при этом
По 1-й теореме двойственности
Подставим в систему ограничений двойственной задачи:
3=3,
1=1,
-21/2<3 ,
-3<1
Так как х3 = х4 = 0, то система исходной задачи примет вид
Решая данную систему, получим , при этом
Рассмотрим решение задач с использованием обратной матрицы.
Пусть решение исходной задачи , при этом
Решение двойственной задачи найдём по формуле где
, , = .
Таким образом, , .
Решение смешанных двойственных задач
Смешанные двойственные задачи можно решать с использованием теорем двойственности.
Исходная задача
Двойственная задача
у1 – произвольная по знаку,
у2
Найдём оптимальное решение двойственной задачи, решив сначала исходную симплексным методом:
, при этом
По 1-й теореме двойственности
Так как х1 > 0, x3 > 0, то по 2-й теореме двойственности первое и третье ограничения двойственной задачи выполняются в виде равенств: ,
откуда у1 = -5/3, у2 = 4/3, т. е.
Лекция 6
5. Транспортная задача
5.1. Общая постановка задачи
В общем виде задачу можно представить следующим образом: в т пунктах производства А1, А2, …, Ат имеется однородный груз в количестве соответственно а1, а2, …, ат. Этот груз необходимо доставить в п пунктов назначения В1, В2, …, Вп в количестве соответственно b1, b2, …, bn. Стоимость перевозки единицы груза (тариф) из пункта Аi в пункт Вj равна сij.
Требуется составить план перевозок, позволяющий вывезти все грузы и имеющий минимальную стоимость.
Определение 1. Если , то задача называется закрытой. Если , то открытой.
Обозначим через хij количество груза, перевозимого из пункта Аi в пункт Вj. Рассмотрим закрытую транспортную задачу. Её условия запишем в распределительную таблицу, которую будем использовать для нахождения решения.
Таблица 5.1
B j Ai |
B1 |
B2 |
… |
Bj |
… |
Bn |
b1 |
b2 |
… |
bj |
… |
bn |
|
A1 a1 |
c11 x11 |
c12 x12 |
… |
c1j x1j |
… |
c1n x1n |
A2 a2 |
c21 x21 |
c22 x22 |
… |
c2j x2j |
… |
c2n x2n |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Ai ai |
ci1 xi1 |
ci2 xi2 |
… |
cij xij |
… |
cin xin |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Am am |
cm1 xm1 |
cm2 xm2 |
… |
cmj xmj |
… |
cmn xmn |
Математическая модель закрытой транспортной задачи имеет вид
при ограничениях:
Оптимальным решением задачи является матрица
,
которая удовлетворяет системе ограничений и доставляет минимум целевой функции. Для решения транспортной задачи разработан специальный метод, имеющий те же этапы, что и симплексный метод, а именно:
- нахождение исходного опорного решения;
- проверка этого решения на оптимальность;
- переход от одного опорного решения к другому.