Алгоритм решения

1. Находим область допустимых решений.

2. Определяем угловой коэффициент k и устанавливаем направление поворота целевой функции.

3. Находим точку max (min) целевой функции или устанавливаем неразрешимость задачи.

Экономическая интерпретация задач дробно-линейного программирования

Математическая модель задачи дробно-линейного программирования может быть использована для определения рентабельности затрат на производство изделий, рентабельности продаж, затрат в расчёте на рубль выпускаемой продукции, себестоимости изделий.

Обозначим: - прибыль предприятия от реализации единицы изделия j-го вида;

- количество выпущенной продукции j-го вида;

c_j - себестоимость производства единицы изделия j-го вида;

d_j – затраты на производство одного изделия j-го вида.

Задача рентабельности (Р_з) затрат на производство изделий имеет вид

Задача рентабельности (Р_п) продаж имеет вид

Задача определения затрат (З_р) в расчёте на рубль товарной продукции записывается в виде

Задача нахождения себестоимости изделия записывается как

Применение дробно-линейного программирования для определения себестоимости изделий

Пример 6. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на каждом из типов оборудования. Время обработки каждого из изделий, затраты, связанные с производством одного изделия, даны в таблице.

Оборудование I и III типов предприятие может использовать не более 26 и 39 ч соответственно, оборудование II типа целесообразно использовать не менее 4 ч.

Определить, сколько изделий каждого вида следует изготовить предприятию, чтобы средняя себестоимость одного изделия была минимальной.

Тип оборудования	Затраты времени на обработку одного изделия, ч
	А	В
I II III Затраты на производство Одного изделия, тыс. р.	2 1 12 2	8 1 3 3

РЕШЕНИЕ. Составим математическую модель задачи. Пусть х₁ – количество изделий вида А, которое следует изготовить предприятию, х₂ – количество изделий вида В. Общие затраты на их производство составят (2х₁ + 3х₂) / (х₁ + х₂).

Математическая модель задачи примет вид

при ограничениях:

 АВС – область допустимых решений.

Найдём х₂: ,

Угловой коэффициент прямой равен , тогда

Так как , то функция возрастает. Это соответствует вращению прямой против часовой стрелки. Следовательно, в точке С целевая функция будет иметь наименьшее значение.

Найдём координаты точки С. Решая систему

х₁ = 3, х₂ = 1,

получим С(3, 1),

Следовательно, предприятию следует выпускать 3 изделия вида А и 1 изделие вида В. При этом средняя себестоимость одного изделия будет минимальной и равной 2,25 тыс. р.

Сведение экономико-математической модели дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования

Задачу дробно-линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования и решить симплексным методом.

Обозначим

при условии

и введём новые переменные

Тогда задача примет вид

при ограничения:

После нахождения оптимального решения полученной задачи, используя вышеуказанные соотношения, найдём оптимальное решение исходной задачи дробно-линейного программирования.

Пример 7. Дана задача дробно-линейного программирования

при ограничениях:

РЕШЕНИЕ. Обозначим: тогда

Обозначим:

Преобразуем систему ограничений, умножив обе части всех ограничений на у₀, и перейдём к переменным

Задача примет вид

при ограничениях

После решения задачи симплексным методом получим

тогда

ОТВЕТ.