- •Глава I элементы линейного программирования Лекция 1
- •1. Элементы аналитической геометрии
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Решение систем т линейных уравнений с двумя переменными
- •Лекция 2
- •2. Графический метод
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Алгоритм решения задач
- •2.3. Выбор оптимального варианта выпуска изделий
- •Лекция 3
- •3. Симплексный метод
- •3.1. Общая постановка задачи
- •3.2. Алгоритм симплексного метода
- •Лекция 3.
- •3.3. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия
- •3.4. Альтернативный оптимум
- •Лекция 4
- •4. Двойственность в линейном программировании
- •4.1. Виды двойственных задач и составление их математических моделей
- •4.2. Основные теоремы двойственности
- •Исходная задача
- •Двойственная задача
- •Исходная задача
- •Двойственная задача
- •Лекция 6
- •5. Транспортная задача
- •5.1. Общая постановка задачи
- •5.2. Нахождение исходного опорного решения
- •5.3. Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю
- •5.4. Проверка найденного опорного решения на оптимальность
- •5.5. Переход от одного опорного решения к другому
- •5.6. Альтернативный оптимум в транспортных задачах
- •Вырожденность в транспортных задачах
- •Открытая транспортная задача
- •Определение оптимального варианта перевозки грузов
- •Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач.
- •Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования
- •Лекция 10 Целочисленное программирование
- •Параметрическое программирование
- •1. Постановка задачи
- •2. Линейное программирование с параметром в целевой функции
- •Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
- •Транспортная параметрическая задача
- •Лекция Задача о назначениях
- •Нелинейное программирование Общая постановка задачи
- •Графический метод
- •Дробно-линейное программирование
- •Алгоритм решения
- •Экономическая интерпретация задач дробно-линейного программирования
- •Применение дробно-линейного программирования для определения себестоимости изделий
- •Сведение экономико-математической модели дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
- •Метод множителей Лагранжа
- •Динамическое программирование
- •Оптимальная стратегия замены оборудования
- •Сетевые модели
- •Выбор оптимальной стратегии развития предприятия в условиях трансформации рынка
- •Принятие решения о замене оборудования в условиях неопределённости и риска
- •Элементы системы массового обслуживания (смо)
- •1. Формулировка задачи и характеристики смо
- •2. Смо с отказами
- •3. Смо с неограниченным ожиданием
- •4. Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
3.4. Альтернативный оптимум
Критерием альтернативного оптимума при решении задач симплексным методом является равенство нулю хотя бы одной оценки свободной переменной
Если оценка свободной переменной равна нулю, то решение находится по формуле
,
где
Пример. Дана задача линейного программирования
при ограничениях:
РЕШЕНИЕ. Составим симплексную таблицу (табл. 3.6).
Таблица 3.6
ci |
БП |
0 |
2 |
-4 |
0 |
2 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
bi |
||
0 0 |
x1 x4 |
1 0 |
3 -2 |
-1 4 |
0 1 |
2 0 |
7 12 |
|
0 |
-2 |
4 |
0 |
-2 |
0 |
В индексной строке имеется одна положительная оценка. Полученное решение можно улучшить. Ключевым элементом является 4. Составляем симплексную таблицу 2-го шага (табл. 3.7).
Таблица 3.7
ci |
БП |
0 |
2 |
-4 |
0 |
2 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
bi |
||
0 -4 |
x1 x3 |
1 0 |
5/2 -1/2 |
0 1 |
1/4 1/4 |
2 1/2 |
10 3 |
|
0 |
0 |
0 |
-1 |
-2 |
-12 |
Получаем
Так как , то задача имеет альтернативный оптимум. Найдём ещё одно оптимальное решение, введя вместо базисной переменной х1 свободную переменную х2 (табл. 3.8).
Таблица 3.8
ci |
БП |
0 |
2 |
-4 |
0 |
2 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
bi |
||
2 -4 |
х2 x3 |
2/5 1/5 |
1 0 |
0 1 |
1/10 3/10 |
4/5 9/10 |
4 5 |
|
0 |
0 |
0 |
-1 |
-4 |
-12 |
Получаем
Найдём координаты оптимального решения задачи:
Давая t значения из [0, 1], получим различные , при которых
Лекция 4
4. Двойственность в линейном программировании
Произвольную задачу линейного программирования можно определённым образом сопоставить с другой задачей линейного программирования, называемой двойственной.
4.1. Виды двойственных задач и составление их математических моделей
Симметричные двойственные задачи
Дана исходная задача
при ограничениях:
Задача дана в неканоническом виде. Составим математическую модель двойственной задачи, для этого:
каждому неравенству системы ограничений исходной задачи приводим в соответствие переменную yi;
составляем целевую функцию, коэффициентами которой являются свободные члены системы ограничений исходной задачи. Функция стремится к минимуму, если в исходной задаче целевая функция стремилась к максимуму, и наоборот;
составляем систему ограничений. Коэффициенты системы ограничений образуют транспонированную матрицу коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Знаки неравенств зависят от целевой функции: если она в двойственной задаче стремится к минимуму, то знаки неравенств « », и наоборот;
свободными членами системы ограничений являются коэффициенты целевой функции исходной задачи. Все переменные двойственной задачи неотрицательные.
Математическая модель двойственной задачи имеет вид
при ограничениях:
Несимметричные двойственные задачи
Дана исходная задача
при ограничениях:
Задача дана в каноническом виде. Составим математическую модель двойственной задачи.
Для её составления пользуются тем же правилом, что и при составлении симметричной задачи, с учётом следующих особенностей:
ограничениями двойственной задачи будут неравенства. Если в целевой функции двойственной задачи требуется найти минимум, то знак неравенства , если максимум, то ;
переменные yi – произвольные по знаку
Математическая модель двойственной задачи имеет вид
при ограничениях:
yi – произвольные по знаку,
Смешанные двойственные задачи
Математическая модель исходной задачи имеет условия симметричных и несимметричных задач. При составлении двойственной задачи необходимо выполнять правила симметричных и несимметричных задач: та переменная, которая соответствует равенству в исходной задаче, может быть произвольного знака в двойственной задаче, а та переменная, которая соответствует неравенству, должна быть в двойственной задаче неотрицательной.