Метод множителей Лагранжа
Дана задача нелинейного программирования
при ограничениях:
Предположим, что
функции
и
непрерывны вместе со своими частными
производными.
Для решения задачи составляется функция Лагранжа
где
-
множители Лагранжа.
Затем определяются частные производные:
Приравняв к нулю частные производные, получим систему
Решая систему, получим множество точек, в которых целевая функция L может иметь экстремальные значения. Условия рассмотренной системы являются необходимыми, но недостаточными. Поэтому не всякое полученное решение определяет точку экстремума целевой функции. Применение метода бывает оправданным, когда заранее предполагается существование глобального экстремума, совпадающего с единственным условным экстремумом целевой функции.
Пример 8. Найти точку условного экстремума целевой функции
При ограничениях:
Решение. Составим функцию Лагранжа
Найдя частные производные и приравняв их к нулю, решим систему
Откуда
Определим характер
экстремума, изменяя значения переменных.
Изменённые значения должны удовлетворять
заданной системе ограничений. Возьмём
,
например
,
тогда из системы ограничений получим
Возьмём
,
например
,
тогда получим
Следовательно,
- минимальное значение функции.
Ответ.
Точка экстремума
,
при этом минимальное значение функции
.
Расчёт экономико-математической модели при
нелинейных реализациях продукции
Пример 9. Мукомольный
комбинат реализует муку двумя способами:
в розницу через магазин и оптом через
торговых агентов. При продаже
кг муки через магазин расходы на
реализацию составляют
ден. ед., а при продаже
кг муки посредством торговых агентов
-
ден. ед.
Определить, сколько килограммов муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были минимальными, если в сутки выделяется для продажи 5000 кг муки.
Динамическое программирование
Динамическое программирование – один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия и управления может быть разбит на отдельные этапы.
Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на ход его развития. Под управлением понимается совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход развития процесса. Например, выпуск продукции предприятием – управляемый процесс. Совокупность решений, принимаемых в начале года по обеспечению предприятия сырьём, замене оборудования, финансированию и т. д., является управлением. Необходимо организовать выпуск продукции так, чтобы принятые решения на отдельных этапах способствовали получению максимально возможного объёма продукции или прибыли.
Одним из основных методов динамического программирования является метод рекуррентных соотношений, который основывается на использовании принципа оптимальности, разработанного американским математиком Беллманом. Принцип состоит в том, что, каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придёт система в конце данного шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, лучше с точки зрения процесса в целом.
В некоторых задачах, решаемых методом динамического программирования, процесс управления разбивается на шаги. При распределении на несколько лет ресурсов деятельности предприятия шагом считается временной период; при распределении средств между предприятиями – номер очередного предприятия.