30.Угол между прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Угол
между прямыми. Пусть 2 прямые заданы
уравнениями
и
.
По теореме о внешнем угле треугольника
.
.
.
Если
прямые заданы уравнениями
и
,
то
.
Если
прямая а параллельна b,
то угол между ними считается
,
– условие параллельности прямых. A
перпендикулярна b,
тогда угол =90,
– условие перпендикулярности прямых.
31.Расстояние от точки до прямой.
Требуется
найти расстояние от точки
.
32.Уравнения плоскости в пространстве (4 вида).
1.
Уравнение плоскости, проходящей через
данную точку перпендикулярно данному
вектору. Пусть плоскость задана точкой
и вектором
,
перпендикулярным плоскости. Рассмотрим
производную точку
.
.
перпендикулярно
следовательно
.
2.
Общее
уравнение плоскости. Имеет вид:
.
Докажем, что это уравнение плоскости:
Пусть
,
тогда
– получим уравнение вида 1, а значит,
данное уравнение является уравнением
плоскости.
Частные
случаи: 1.
– проходит через начало координат. 2.
- ||
;
- ||
;
- ||
.
3.
– проходит через
;
… 4.
||
,
… 5.
-
,
… .
3.
. Уравнение плоскости проходящей через
3 точки. Пусть плоскость проходит через
точки
,
и
.
4.
Уравнение плоскости в отрезках. Пусть
плоскость пересекает оси в точках
,
и
.
Подставим в уравнение 3 координаты
точек. Преобразуем определитель,
получим:
.
33.Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Угол
между двумя плоскостями.
,
,
,
,
.
– условие
параллельности плоскостей;
- условие перпендикулярности плоскостей.
34.Расстояние от точки до плоскости.
Требуется
найти расстояние от точки
.
35.Уравнения прямой в пространстве (4 вида)
1.
Общее уравнение прямой. Прямую в
пространстве можно задать как пересечение
2ух плоскостей.
2.
Каноническое уравнение прямой. Прямую
в пространстве можно задать точкой
и вектором
,
параллельным этой прямой, который
называется направляющим. Пусть
.
,
,
3.
Параметрическое уравнение прямой.
Обозначим в каноническом уравнении:
– параметр.
4.
Уравнение прямой, проходящей через 2
точки. Пусть
прямая задана точками
и
.
,
следовательно
можно считать направляющим вектором.
Тогда согласно каноническому уравнению:
36.Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
Угол
между прямыми в пространстве. Под углом
между прямыми в пространстве понимают
угол между направляющими векторами
и
.
.
– условие
параллельности прямых;
- условие перпендикулярности прямых.
37.Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
– направляющий
вектор L.
– вектор перпенд L.
.
,
–
условие
параллельности прямой и плоскости;
- условие перпендикулярности прямой и
плоскости.
38.Условие принадлежности прямой плоскости.
Учитывая
условие параллельности прямой и
плоскости и то, что любая точка прямой
принадлежит плоскости, если прямая
лежит в плоскости, получим условие
принадлежности прямой и плоскости.
.
39.Определение эллипса и его каноническое уравнение. Исследование формы эллипса. Дополнительные сведения об эллипсе.
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущей координаты. Такие линии называются кривыми второго порядка. Примером такой кривой является окружность.
Эллипсом
называют множество всех точек плоскости,
сумма расстояний от каждой из которых
до 2ух данных точек этой плоскости,
называемых фокусами, есть величины
постоянная, большая, чем расстояние
между фокусами.
– каноническое уравнение эллипса, где
.
Исследование формы эллипса:
1.
Уравнение эллипса содержит x
и y
только в четных степенях, поэтому если
эллипсу принадлежат точки
,
то ему будут принадлежать точки
,
,
– эллипс симметричен относительно
,
и начала координат. Точка
– центр эллипса.
2.
Точки пересечения с осью
:
y=0,
,
.
и
– вершины эллипса. С
осью
:
x=0,
,
.
и
.
Отрезки
и
называют большой и малой осями эллипса.
3.
и
.
и
.
Все точки эллипса расположены внутри
прямоугольника, образованного прямыми
и
.
Из
уравнения эллипса следует, что
.
Если же
,
то уравнение эллипса определяет, что
эллипс будет вытянут вдоль оси
и на оси
будут находиться фокусы.