- •2. Определение матриц. Виды матриц.
- •1. Математическая модель. Этапы математического моделирования.
- •3. Транспонирование матриц. Свойства.
- •5. Произведение матриц. Возведение матриц в степень. Свойства произведения.
- •6. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
- •7. Минор и их алгебраическое дополнение элемента матрицы.
- •8. Вычисление определителей n-го порядка разложением по ряду и приведением к треугольному виду.
- •9. Определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы. Формула нахождения обратной матрицы.
- •11. (Только практика) Способы вычисления ранга.
- •12.Сформулировать элементарные преобразования матриц. Определение эквивалентных матриц.
- •15.(Только практика) Решение системы матричным способом.
- •16.(Только практика) Решение системы методом Крамера.
- •17.(Только практика) Решение системы методом Гаусса.
- •18.Совместная и несовместная система. Критерий совместности системы. Правила практического разыскания решений.
- •19.(Только практика) Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений.
- •20.Определение однородной системы уравнений. Сформулировать теорему об условии существования нетривиального решения. Что называется фундаментальной системой решения?
- •21.Определение вектора, противоположного вектора, длины вектора, нулевого и единичного векторов, коллинеарных. Равных и компланарных векторов.
- •22.Линейные операции над векторами.
- •23.Формула разложения вектора по ортам координатных осей. Координаты вектора. Выражение линейных операций над векторами в координатах.
- •24.Формула деления отрезка в заданном отношении.
- •25.Определение скалярного произведения векторов. Выражение скалярного произведения через координаты.
- •26. Как найти угол между векторами?
- •27.Определение n-мерного вектора и его координат. Определение векторного пространства. Как найти сумму, произведение на число, скалярное произведение и длину n-мерных векторов?
- •28.Линейная комбинация векторов. Определение линейно зависимой и независимой системы.
- •29.Уравнения прямой на плоскости (6 видов).
- •30.Угол между прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- •31.Расстояние от точки до прямой.
- •32.Уравнения плоскости в пространстве (4 вида).
- •33.Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
- •34.Расстояние от точки до плоскости.
- •35.Уравнения прямой в пространстве (4 вида)
- •40.Определение гиперболы и се каноническое уравнение. Исследование формы гиперболы. Асимптоты гиперболы. Дополнительные сведения о гиперболе.
- •41.Парабола и ее каноническое уравнение. Исследование формы параболы.
- •43.Определение предела последовательности и его геометрическая интерпретация.
- •44.Свойства сходящихся последовательностей.
- •45.Определение, способы задания и свойства функции.
- •46.1)Определение предела функции в точке 2)Предел функции при х→∞ 3)Односторонние пределы.
- •47.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
- •48.Основные свойства пределов.
- •49.Замечательные пределы (1-й - с доказательством).
- •50.Определение функции непрерывной в точке, в интервале и на отроке. Точки разрыва.
- •51.Определение производной функции в точке. (производная – это скорость).
- •52. Механический, геометрический и экономический смысл производной.
- •53.Таблица производных элементарных функций. Правила вычисления производных.
- •54.Дифференциал функции и его геометрическая интерпретация. Свойства дифференциала.
- •55.Производные и дифференциалы высших порядков.
51.Определение производной функции в точке. (производная – это скорость).
Пусть функция определена на некотором интервале и – некоторая фиксированная точка этого интервала. – приращение аргумента. – приращение функции. Составим отношение и рассмотрим предел этого отношения при .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю. Обозначается . По определению: .
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой, операция нахождения производной называется дифференцированием.
52. Механический, геометрический и экономический смысл производной.
Механический: – средняя скорость. – мгновенная скорость. Обобщая можно сказать, что если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная функции есть скорость протекания этого процесса.
Геометрический: – угловой коэффициент секущей. – угловой коэффициент касательной.
Экономический: пусть выражает количество производимой продукции u за время t. – изменение количества продукции за период времени t. – средняя производительность труда за время . - производительность труда в момент времени .
53.Таблица производных элементарных функций. Правила вычисления производных.
При вычислении производных нужно знать 1. Таблицу производных; 2. Правило производных.
1. c’ = 0; 2. X’ = 0; 3. ; 4. и ; 5. ; 6. - .
54.Дифференциал функции и его геометрическая интерпретация. Свойства дифференциала.
Пусть производная имеет в точке x производную отличную от нуля. , то есть при . Воспользуемся следующим утверждением: если функция имеет предел, то , , где – бмф. Тогда можно записать, что при и – бмф. Первое слагаемое правой части называется главной частью приращения .
Дифференциалом функции в точке x называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается dy или df. .
Геометрический смысл дифференциала функции: Дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .
Свойства дифференциала:
1. dc=0; 2. D(cu)=cdu; 3. D(u+v)=du+dv; 4. D(uv)=vdu+udv; 5. ; 6. Если и – дифференциал функции, образующей сложную функцию , то . Дифференциал сложной функции определяется формулой . Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.
55.Производные и дифференциалы высших порядков.
Производная сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной n-ого порядка называется производная от производной (n-1)-ого порядка. Обозначается – 2-ого порядка, – 3-его порядка, или – 4-ого порядка, – производная n-ого порядка. Если производная 1-ого порядка от пути есть скорость, то – ускорение точки в момент времени .
Пусть – дифференцируемая функция, а x – независимая переменная. Тогда ее 1-ый дифференциал также есть функция и можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом 2-ого порядка и обозначается или . . Аналогично определяется дифференциал любого порядка. Дифференциал n-ого порядка называется дифференциалом от дифференциала (n-1)-ого порядка.