- •2. Определение матриц. Виды матриц.
- •1. Математическая модель. Этапы математического моделирования.
- •3. Транспонирование матриц. Свойства.
- •5. Произведение матриц. Возведение матриц в степень. Свойства произведения.
- •6. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
- •7. Минор и их алгебраическое дополнение элемента матрицы.
- •8. Вычисление определителей n-го порядка разложением по ряду и приведением к треугольному виду.
- •9. Определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы. Формула нахождения обратной матрицы.
- •11. (Только практика) Способы вычисления ранга.
- •12.Сформулировать элементарные преобразования матриц. Определение эквивалентных матриц.
- •15.(Только практика) Решение системы матричным способом.
- •16.(Только практика) Решение системы методом Крамера.
- •17.(Только практика) Решение системы методом Гаусса.
- •18.Совместная и несовместная система. Критерий совместности системы. Правила практического разыскания решений.
- •19.(Только практика) Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений.
- •20.Определение однородной системы уравнений. Сформулировать теорему об условии существования нетривиального решения. Что называется фундаментальной системой решения?
- •21.Определение вектора, противоположного вектора, длины вектора, нулевого и единичного векторов, коллинеарных. Равных и компланарных векторов.
- •22.Линейные операции над векторами.
- •23.Формула разложения вектора по ортам координатных осей. Координаты вектора. Выражение линейных операций над векторами в координатах.
- •24.Формула деления отрезка в заданном отношении.
- •25.Определение скалярного произведения векторов. Выражение скалярного произведения через координаты.
- •26. Как найти угол между векторами?
- •27.Определение n-мерного вектора и его координат. Определение векторного пространства. Как найти сумму, произведение на число, скалярное произведение и длину n-мерных векторов?
- •28.Линейная комбинация векторов. Определение линейно зависимой и независимой системы.
- •29.Уравнения прямой на плоскости (6 видов).
- •30.Угол между прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- •31.Расстояние от точки до прямой.
- •32.Уравнения плоскости в пространстве (4 вида).
- •33.Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
- •34.Расстояние от точки до плоскости.
- •35.Уравнения прямой в пространстве (4 вида)
- •40.Определение гиперболы и се каноническое уравнение. Исследование формы гиперболы. Асимптоты гиперболы. Дополнительные сведения о гиперболе.
- •41.Парабола и ее каноническое уравнение. Исследование формы параболы.
- •43.Определение предела последовательности и его геометрическая интерпретация.
- •44.Свойства сходящихся последовательностей.
- •45.Определение, способы задания и свойства функции.
- •46.1)Определение предела функции в точке 2)Предел функции при х→∞ 3)Односторонние пределы.
- •47.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
- •48.Основные свойства пределов.
- •49.Замечательные пределы (1-й - с доказательством).
- •50.Определение функции непрерывной в точке, в интервале и на отроке. Точки разрыва.
- •51.Определение производной функции в точке. (производная – это скорость).
- •52. Механический, геометрический и экономический смысл производной.
- •53.Таблица производных элементарных функций. Правила вычисления производных.
- •54.Дифференциал функции и его геометрическая интерпретация. Свойства дифференциала.
- •55.Производные и дифференциалы высших порядков.
9. Определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы. Формула нахождения обратной матрицы.
Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие , где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А. Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.
Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.
Союзная матрица: , где – алгебраическое дополнение элемента ij данной матрицы.
Условие существования обратной матрицы. Лемма: Если А – квадратная матрица n-ого порядка, – союзная к ней матрица, то , где Е – единичная матрица n-ого порядка.
Доказательство: Рассмотрим произведение матрицы А и При вычислении элементов матрицы произведения, стоящих на главной диагонали, будет получаться сумма произведений элементов i-ой строки матрицы А на их алгебраическое дополнение, а это равно определителю. Для получения остальных элементов матрицы надо находить сумму произведений элементов i-ой строки на алгебраическое дополнение элементов j-ой строки, а это согласно 10-ому свойству определителей равно нулю. Аналогично можно доказать, что
Теорема 1, о существовании обратной матрицы. Для того, чтобы существовала матрица , обратная матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.
Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу , тогда . По 9-ому свойству определителей . Так как |E|=1, то , следовательно матрица A – невырожденная.
Достаточность. Пусть матрица А – невырожденная, то есть . Докажем, что существует такая матрица , которая является обратной к матрице А и докажем, что такой матрицей является , где – союзная матрица к A. Согласно лемме
Формула обратной матрицы:
Теорема 2, о единственности обратной матрицы. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.
Доказательство. Пусть существуют матрицы и обратные невырожденной матрице А, тогда (слева).
10. Ранг матрицы и его свойства.
Рассмотрим матрицу . Выделим в ней k строк и k столбцов, где , необязательно рядом. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составить определитель k-ого порядка. Все такие определители называются минорами матрицы (не путать с минорами элементов!!!).
Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначается r, r(A), rang.
Из определения следует:
1. Ранг матрицы не превосходит меньший из ее размеров, то есть .
2. , тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, то есть матрица – нулевая.
3. Для квадратной матрицы n-ого порядка r=n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.
Свойства ранга матрицы:
1. При транспонировании ранг матрицы не меняется.
2. Ранг матрицы, полученный из данной вычеркиванием какого-либо ряда, равен рангу данной матрицы или меньше его на единицу.
3. Ранг матрицы, полученный из данной приписыванием к ней ряда, элементами которого являются произвольные числа, равен рангу исходной матрицы или больше его на единицу.
4. Если вычеркнуть из матрицы или прибавить к ней нулевой ряд, то ранг матрицы не меняется.
5. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.