24.Формула деления отрезка в заданном отношении.

.

Требуется разделить AB с координатами A и B в отношении α>0, то есть найти координаты точек M , такой, что .

25.Определение скалярного произведения векторов. Выражение скалярного произведения через координаты.

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы. Построим вектор . По теореме косинусов выражается с. Получается:

Левая часть этого равенства – число. Его обозначают и называют скалярным произведением векторов.

Выражение скалярного произведения через координаты:

Подставим эти равенства (a, b, c) в и преобразуем полученное выражение, найдем: . Таким образом: – выражение скалярного произведения через координаты.

26. Как найти угол между векторами?

Из определения скалярного произведения . Если a перпендикулярно b, то – условие перпендикулярности векторов.

27.Определение n-мерного вектора и его координат. Определение векторного пространства. Как найти сумму, произведение на число, скалярное произведение и длину n-мерных векторов?

Любой упорядоченный набор из n-действительных чисел называется n-мерным вектором . Числа, составляющие упомянутый набор, называются координатами .

Совокупность всех n-мерных векторов называется n-мерным векторным пространством и обозначается .

Сумма, произведение на число, скалярное произведение и длина n-мерных векторов находится также как и простые векторы.

28.Линейная комбинация векторов. Определение линейно зависимой и независимой системы.

Совокупность векторов одной размерности называется системой векторов и обозначается .

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если он равен , где альфа принадлежит Р. В этом случае говорят также, что вектор линейно выражен через векторы а или разлагается по этим векторам.

Система ненулевых векторов называется линейно зависимой, если существует также числа не равные нулю одновременно, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору.

Если же равенство для данной системы векторов возможно лишь при числах равных нулю, то такая система векторов называется линейно независимой.

29.Уравнения прямой на плоскости (6 видов).

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть прямая проходит через точку пересечения с и образует угол α с . Под углом α наклона прямой к понимают угол между положительным направлением и прямой, отсчитываемой против часовой стрелки. . +частные случаи (b=0, k=0).

2. Общее уравнение прямой. Имеет вид: . Докажем, что это уравнение прямой: Пусть , тогда . Имеет структуру уравнения 1, а значит является уравнением прямой. Частные случаи: 1. . 2. . 3. . – геометрический смысл коэффициентов. – вектор, перпендикулярный данной прямой - нормальный вектор.

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Пусть прямая проходит через точку М под углом α с осью . Подставим в уравнение 1 координаты точки M. . Подставим в уравнение 1.

4. Уравнение прямой проходящей через 2 точки. Пусть прямая проходит через точку и . Подставим координаты точек в уравнение 3. . Так как также принадлежит прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению: . Подставим k в уравнение:

5. Уравнение отрезка. Пусть прямая пересекает оси в двух точках и . Подставим в уравнение 4.

6. Уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Пусть прямая задана точкой и вектором , перпендикулярным прямой. Так как перпендикулярно , то скалярное произведение этих векторов =0. . – нормальный вектор.