46.1)Определение предела функции в точке 2)Предел функции при х→∞ 3)Односторонние пределы.

1) Число A называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа ε найдется такое положительное δ, зависящее от ε, что для всех x отличных от и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство , при этом записывают . Это определение можно записать так: .

2) Число A называют пределом функции при . .

3) Число называют пределом функции слева в точке , если .

Число называют пределом функции справа в точке , если .

Если существуют оба односторонних предела при и оба равны A, то значит существует предел при .

47.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

Функция называется бесконечно малой при , если (бмф).

Свойства бмф:

1. Сумма конечного числа бмф есть бмф.

2. Произведение бмф на ограниченную функцию есть бмф (в том числе на постоянную или на другую бмф).

3. Частное от деления бмф на функцию, предел которой отличен от нуля, есть бмф.

Функция называется бесконечно большой при , если (ббф).

Свойства ббф:

1. Произведение ббф на функцию, предел которой отличен от нуля, есть ббф.

2. Сумма ббф и ограниченной функции есть ббф.

3. Частное от деления ббф на функцию, имеющую предел, есть ббф.

Связь между ббф и бмф: Если – бмф при , то – ббф при .

48.Основные свойства пределов.

Основные теоремы пределов:

1. Функция не может иметь более одного предела.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. Если существуют конечные пределы и , то предел .

9. Если и , то – предел сложной функции.

10. Если в некоторой окрестности точка , то .

Теорема о промежуточной функции. Если функция : и и и .

49.Замечательные пределы (1-й - с доказательством).

50.Определение функции непрерывной в точке, в интервале и на отроке. Точки разрыва.

Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующему условию: 1. Определена в точке , то есть существует . 2. Имеет конечный предел функции при . 3. Этот предел равен значению функции в точке , то есть . Непрерывность функции выражается на графике тем, что его можно изобразить не отрывая карандаша от листа бумаги.

Точки разрыва функции. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва функции. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, то есть и . При этом: 1. Если , то точка называется точкой устранимого разрыва. 2. Если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величина называется скачком функции в точке разрыва.