11. (Только практика) Способы вычисления ранга.
1 способ, по определению.
2 способ, с помощью приведению к виду трапеции. Ранг равен количеству ненулевых строк.
3 способ. Максимальное число линейно независимых строк/столбцов матрицы равно рангу матрицы.
12.Сформулировать элементарные преобразования матриц. Определение эквивалентных матриц.
Элементарные преобразования матрицы:
1. Отбрасывание нулевого ряда.
2. Умножение всех элементов матрица на число неравное нулю.
3. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.
4. Прибавление к каждому элементу одного ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Две
матрицы называются эквивалентными,
если одна из них получается из другой
с помощью элементарных преобразований.
Обозначаются
.
14.Определение системы линейных уравнений (в том числе, что значит решить систему, какие системы называются совместными, определенными и эквивалентными). Сформулировать элементарные преобразования систем.
Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:
,
где числа
– коэффициенты при неизвестных,
– свободные члены,
– неизвестные или переменные.
Решением
системы уравнений называется упорядоченная
система чисел
при подстановке которой все уравнения
системы обращаются в верное равенство.
Решить систему – значит выяснить, совместна ли она или несовместна. Если система совместна – найти все ее решения.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и не совместной, если она не имеет решений.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Системы уравнений называют эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же множество решений. Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях матрицы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Элементарные преобразования систем:
1. Умножение некоторого уравнения системы на число, отличное от нуля.
2. Прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число.
3. Перестановка местами двух уравнений системы или слагаемых в уравнениях.
4. Вычеркивание нулевого уравнения.
5. Удаление уравнений, являющимися линейными комбинациями других уравнений системы.
Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных называется основной матрицей системы.
– матрица
неизвестных;
– матрица свободных членов;
– матричная форма записи системы.
13.Определение базисного минора матрицы. Сформулировать теорему о базисном миноре. Следствия из данной теоремы.
Базисным минором матрицы называют отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называют базисными.
Теорема о базисном миноре:
1. Любая строка/столбец матрицы является линейной комбинацией базисных строк/столбцов.
2. Базисные строки/столбцы линейно независимы.
Из теоремы следует: Максимальное число линейно независимых строк/столбцов матрицы равно рангу матрицы.