5. Корень многочлена.

Все многочлены первой степени неприводимы над любым числовым полем.

Число a называется корнем многочлена, если f(a)=0.

Следствие 2.1 Многочлен степени n имеет не более n корней.

6. Интерполяционный многочлен

Под задачей интерполяции понимают задачу построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках принимает заданные значения.

1. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

Пусть требуется построить многочлен, который в точках a₁,…,a_n (n>1) принимает значения y₁,…,y_n. Положим w(x)=(x-a₁)…(x-a_n) и . Легко убедится в справедливости равенств w_i(a_j)=0 при и w_i(a_i)=1. Следовательно, многочлен f(x)=y₁w₁(x)+…+y_nw_n(x) принимает в точках a₁,…,a_n значения y₁,…,y_n.

Теорема 2.14 (Интерполяционный многочлен Лагранжа)

Существует единственный интерполяционный многочлен степени не превосходящий n-1, который принимает в точках a₁,…,a_n значения y₁,…,y_n..

Доказательство. Существование доказано выше. Покажем единственность. Допустим, кроме f(x) существует ещё интерполяционный многочлен h(x) степени не выше n-1. Разность многочленов f(x)-h(x) равна 0 в точках y₁,…,y_n., значит, по теореме Безу, она делится на w(x). Так как степень w(x) равна n, то f(x)-h(x)=0.

2. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Пусть f(x) – произвольный многочлен. Под разностью первого порядка будем понимать . Индукцией определим разность порядка k .

Свойство 1

.

Доказательство проведём индукцией по порядку разности. При k=1 имеем . Основание индукции положено. Пусть утверждение верно для всех разностей порядка k-1. Покажем его справедливость для всех разностей порядка k. По определению . Подставим вместо разностей k-1 порядка их выражения, получим После приведения подобных в правой части равенства получим требуемое утверждение.

Свойство 2

Разность не зависит от порядка, в котором расположены ее аргументы

Доказательство вытекает из свойства 1.

Свойство 3

Если степень многочлена f(x) равна n, то разность порядка k есть многочлен степени n-k при nk и 0 при n<k.

Доказательство проведём индукцией по k. При k=1 имеем . Числителем дроби является многочлен , причём . Следовательно, по теореме Безу многочлен делится без остатка на двучлен . Тем самым основание индукции доказано. Пусть утверждение верно для разностей порядка k-1. Покажем его справедливость для разностей порядка k. По определению разности порядка k имеем . По предположению индукции числитель этой дроби многочлен степени n-k+1. Кроме того (свойство 2) и по теореме Безу многочлен делится без остатка на двучлен . Свойство доказано.

Свойство 4

f(x)=f(a₁)+(x-a₁)f(a₁,a₂)+…+(x-a₁)…(x-a_k-1)f(a₁,….a_k)+ +(x-a₁)…(x-a_k)f(x,a₁,….a_k)

Доказательство. Из определения разности порядка k выразим разность меньшего порядка . Продолжив этот процесс получим искомую формулу.

7. Разложение многочлена над полем рациональных чисел

   1. Примитивный многочлен, его свойства

Определение 2.3Многочлен над кольцом целых чисел называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1.

Многочлен с рациональными коэффициентами единственным образом представляется в виде произведения положительного рационального числа и примитивного многочлена. Рациональное число называют содержанием многочлена.

Теорема 2.15 Произведение примитивных многочленов есть примитивный многочлен.

Доказательство проведём методом от противного. Пусть произведение двух примитивных многочленов и есть не примитивный многочлен . Найдётся простое число p, которое делит все коэффициенты многочлена h(x) без остатка. Пусть -самый младший (с наименьшим номером) коэффициент f(x), не делящийся на p без остатка (такой найдётся в силу примитивности многочлена), а - самый младший коэффициент g(x), не делящийся на p без остатка. Коэффициент многочлена h(x) при вычисляется по формуле . Слагаемое делится на p без остатка при s<i, так как левый множитель кратен p, а при s>i, так как правый множитель кратен p. Единственное слагаемое, которое не делится на p, получается при s=i. Следовательно, вся сумма не делится на p, а значит не все коэффициенты h(x) делятся на p, что противоречит сделанному допущению. Тем самым теорема доказана.

Следствие 2.2. Если многочлен с целочисленными коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он приводим над кольцом целых чисел.

Доказательство. Разложим многочлен над полем рациональных чисел. Каждый множитель представим в виде произведения его содержания и примитивного многочлена. Произведение примитивных многочленов суть примитивный многочлен, поэтому произведение содержаний множителей равно содержанию исходного многочлена. Для завершения доказательства осталось заметить, что содержание исходного многочлена есть целое число.

Таким образом, задача разложения многочлена на неприводимые множители над полем рациональных чисел сводится к аналогичной задаче над кольцом целых чисел.