- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Формула Бине-Кощи
Теорема 5.32 (Бине-Коши). . Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*m (n больше либо равно n). Справедливо равенство , где - матрица, образованная столбцами матрицы A с номерами , а - матрица, образованная строками матрицы B с номерами .
Доказательство. Пусть C=AB. По определению определителя . Выразим элементы C через элементы A и B, получим . Перемножим все суммы придем к выражению . Поменяем порядок суммирования, поставив сумму по перестановкам на последнее место. Вынесем за знак суммы сомножители не зависящие от f получим . Сумма есть определитель матрицы , следовательно, . Определитель, содержащий одинаковые строки равен 0, поэтому исключив из последней суммы слагаемые с одинаковыми номерами строк, придем к выражению . Для упорядочивания строк матрицы потребуется перестановок соседних строк (см.Теорема 4 .29), следовательно, и . Вынесем за знак последней суммы множители не зависящие от f . Сумма есть определитель матрицы , следовательно, , что и требовалось.
Следствие 5.12. Пусть A и B квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель произведения равен произведению определителей .
-
Операции с матрицами
-
Обратная матрица
-
Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E.
Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образом, единичная матрица играет роль 1 среди матриц.
Определение 6.20. Матрица B называется обратной к матрице A, если AB=BA=E. Обратная матрица обозначается .
Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц.
Свойство 6.15. Если обратная матрица существует, то она единственна.
Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует две обратные матрицы к A, которые обозначим через B и C. Рассмотрим произведение BAC. С одной стороны (BA)C=EC=C, а с другой B(AC)=BE=B. Результат не зависит от способа расстановок скобок, поэтому B=C.
Определение 6.21. Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0.
Теорема 6.33. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы к A является ее невырожденность.
Доказательство. Пусть к матрице A существует обратная . Из равенства следует равенство определителей , откуда .
Пусть . Построим матрицу B, элементы которой равны . Найдем AB. Элемент матрицы произведения, стоящий на пересечение строки i и столбца j равен . Сумма является разложением по строке j определителя матрицы, отличающейся от матрицы A только строкой j, вместо которой стоит строка i. Если , то эта матрица имеет две одинаковые строки и ее определитель равен 0. Если i=j, то получаем матрицу A. Таким образом, элемент матрицы произведения, расположенный на пересечении строки i и столбца j равен 0 при и 1 при i=j, то есть AB=E. Аналогично, проверяется равенство BA=E.Следовательно, матрица B – обратная к A.
Следствие 6.13 Если BA=E или AB=E, то .
Доказательство. Если BA=E, то матрица A – невырожденная, и к ней существует единственная обратная матрица. Далее, или .