- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
С помощью рангов соответствующих матриц можно определить взаимное расположение подпространств из некоторого пространства. При этом определённую пользу принесёт следующая теорема.
Теорема 7.49 Кронекера-Капели.
Система совместна тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Очевидно.
В качестве примера определим взаимное расположение двух линейных многообразий: и (предполагается линейная независимость систем векторов и ). Рассмотрим две системы линейных уравнений и . Положим и .
Совместность первой системы означает, что у линейных многообразий есть общая точка. Равенство рангов является необходимым и достаточным условием совместности первой системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капели). Размерность пространства решений второй системы позволяет определить размерность пересечения линейных оболочек и по формуле . Этой информации достаточно для описания взаимного расположения линейных многообразий. В качестве примера приведём в таблицах все случаи взаимного расположения двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.
Две прямые (k=s=1)
r |
R |
примечание |
1 |
1 |
Прямые совпадают (есть общая точка и размерность пересечения равна 1) |
1 |
2 |
Прямые параллельны |
2 |
2 |
Прямые пересекаются в одной точке |
2 |
3 |
Прямые скрещиваются (нет общих точек и не параллельны) |
Прямая и плоскость (k=1, s=2)
r |
R |
примечание |
2 |
2 |
Прямая лежит в плоскости |
2 |
3 |
Прямые параллельна плоскости |
3 |
3 |
Прямая пересекается с плоскостью в единственной точке |
3 |
4 |
Прямая и плоскость скрещиваются (нет общих точек и не параллельны) |
Две плоскости (k=s=2)
r |
R |
примечание |
2 |
2 |
Плоскости совпадают |
2 |
3 |
Плоскости параллельны |
3 |
3 |
Плоскости пересекаются по прямой |
3 |
4 |
Плоскости скрещиваются, но имеют параллельные прямые |
4 |
4 |
Плоскости пересекаются в единственной точке |
4 |
5 |
Плоскости абсолютно скрещиваются (ни какие прямые одной плоскости не параллельны прямым другой плоскости) |
-
Геометрия на плоскости и в пространстве.
Целью данного раздела состоит в рассмотрении таких геометрических понятий как расстояние, площадь, объём с последующим обобщением этих понятий и их переносом на произвольные линейные пространства.
-
Скалярное произведение.
Определение 8.37. Скалярным произведением геометрических векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначают .
Из определения следует, что длина вектора равна . От
Приведём свойства скалярного произведения.
-
Симметричность .
-
-
В доказательстве нуждается только третье равенство. Если c=0, то равенство очевидно. Пусть . Проекция вектора b на c равна .
Из равенства и приведённой выше формулы выводим . Приравняем коэффициенты при векторе c в левой и правой частях равенства и умножим на квадрат длины вектора c, получим свойство 3.
Задание длин векторов определяет скалярное произведение. Действительно, из свойств скалярного произведения выводим равенство , которое перепишем в виде
. Таким образом, задание длин векторов равносильно заданию скалярного произведения и наоборот.
Выразим скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов. Пусть - базис пространства векторов, и , - разложения векторов a,b по этому базису. Тогда по свойствам скалярного произведения выводим . Обозначим через матрицу Грамма от векторов , составленную из скалярных произведений этих векторов, через - координаты вектора a в базисе f. В этих обозначениях скалярное произведение можно записать с помощью матричных операций следующим образом .
Векторы называются ортогональными (перпендикулярными) если угол между ними равен . Условие ортогональности векторов равносильно равенству нулю их скалярного произведения.
Базис называется ортогональным, если базисные векторы попарно ортогональны. Матрица Грамма ортогональной системы векторов – диагональная. Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортогональном базисе принимает более простой вид, а именно, .
В ортогональном базисе скалярное произведение вектора a на базисный вектор равно , то есть, координаты вектора a находятся по формулам .
Ортогональный базис , в котором длина каждого базисного вектора равна 1, называется ортонормированным. В ортонормированном базисе координаты вектора x определяются по формулам , а скалярное произведение векторов равно .