- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Четность перестановок
Дискриминантом называется многочлен от n переменных . Квадрат дискриминанта является симметрическим многочленом. Следовательно, при перестановке переменных может меняться только знак дискриминанта.
Определение 4.12. Перестановка f называется четной, если она не меняет знак дискриминанта ( то есть ), и нечетной в противном случае.
Свойство 4.4. Четность произведения перестановок зависит от четности сомножителей. Произведение перестановок одинаковой четности всегда четно, а произведение перестановок разной четности – нечетно.
Выполнение перестановки сводится к последовательному выполнению перестановок сомножителей. Следовательно, знак перестановки равен произведению знаков сомножителей.
Определение 4.13. Перестановка, меняющая только два соседних по порядку номера, называется инверсией. Инверсия имеет вид (i-i+1).
Свойство 4.5. Инверсия является нечетной перестановкой.
Применив инверсию к дискриминанту, видим, что поменяется знак только у единственного сомножителя . Следовательно, дискриминант меняет знак.
Определение 4.14. Для перестановки f определим число нарушений порядка как число всех пар, для которых i<j и f(i)>f(j).
Например, при так как существуют только две пары на которых нарушается порядок. Это 1,2 (f(1)=3>f(2)=1) и 1,3 (f(1)>f(3)=2).
Теорема 4.29.Перестановка f представима в виде произведения инверсий.
Доказательство проведем индукцией по . Для существует единственная перестановка . Если , то перестановка сама является инверсией. Пусть утверждение теоремы верно при . Покажем его справедливость при . Найдем номер i для которого f(i)>f(i+1) (существование такого i очевидно). Перестановка (i-i+1)f имеет j нарушений порядка. По предположению индукции, эта перестановка представима в виде произведения j инверсий . Из полученного равенства, умножив слева на (i-i+1), находим . Перестановка f представлена в виде произведения j+1 инверсий, тем самым теорема доказана.
Из теоремы вытекает, что четность перестановки совпадает с четностью числа нарушений порядка в ней.
Определение 4.15. Перестановка, меняющая только два элемента, называется транспозицией.
Лемма 4.9. Транспозиция является нечетной перестановкой.
Рассмотрим транспозицию (i-j), где i<j. Число нарушений порядка этой транспозиции равно 2(j-i)-1, всегда нечетное число.
Лемма 4.10. Четность цикла длины k равна четности числа k-1.
Доказательство проведем индукцией по длине цикла k. При k=2 утверждение доказано в предыдущей лемме. Пусть утверждение леммы верно при k-1. Покажем его справедливость для цикла длины k. Из равенства следует, что четность цикла длины k равна четности цикла длины k-1 плюс 1, то есть четности k-1.
Определение 4.16. Сумма длин независимых циклов минус количество циклов называется декрементом перестановки.
Разложив перестановку в произведение независимых циклов, определим её чётность.
Теорема 4.30. Четность перестановки равна ее декременту.
-
Определитель
Определение 5.17. Пусть A – квадратная матрица порядка n с элементами . Определителем матрицы A называется сумма по всем перестановкам . Определитель (детерминант) матрицы обозначается или det(A).
В частности определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле , а определитель третьего порядка равен . Вычисление определителей больших порядков исходя из определения не целесообразно.