- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Определитель Вандермонда
Пусть даны числа . Матрицей Вандермонда называется матрица, у которой на пересечении i-го столбца и j-ой строки расположен элемент, равный . Обозначим через матрицу Вандермонда. Определитель матрицы Вандермонда является многочленом от , т.к. . Рассмотрим определитель как многочлен от . Степень этого многочлена равна n-1, а его корни равны (т.к. определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю). Следовательно, , где q – коэффициент при старшей степени. Легко убедиться, что . Таким образом получена рекуррентная формула , последовательным применением которой придём к равенству .
-
Теорема Лапласа
Определение 5.18. Пусть и множества номеров строк и столбцов матрицы A, соответственно. Подматрицу матрицы A, расположенную на пересечении строк с номерами из I и столбцов с номерами из J, обозначим как , а подматрицу, получаемую из A, вычеркиванием строк с номерами из I и столбцов с номерами из J обозначим через . Определитель называется минором, а определитель - дополнительным минором.
Лемма 5.11 Справедливо равенство .
Доказательство. Выразим правую часть равенства через элементы исходной матрицы. Для этого заметим, что и , где (номера упорядочены в порядке возрастания). Подставим данные выражения в правую часть и перемножим
Первая сумма состоит из слагаемых, вторая сумма – из k! слагаемых и третья сумма – (n-k)! слагаемых. Следовательно, общее количество слагаемых равно n!. Покажем, что каждое из этих слагаемых входит в определитель с тем же самым знаком. Слагаемое имеет вид , где . В определителе оно соответствует перестановке . Представим перестановку в виде произведения трёх перестановок , где , и . Легко убедиться в справедливости равенств , , . Следовательно, , и таким образом, совпадение знаков показано, что завершает доказательство леммы.
Теорема 5.31 (Лапласа). Пусть множество номеров строк. Справедливо равенство .
Доказательство. Обозначим через B матрицу, получающуюся из матрицы A последовательной перестановкой строк с номерами из I на место первых k строк (при этом порядок остальных строк не нарушается). Для этого потребуется перестановок строк, и значит, . Разложив определитель матрицы B (Лемма 5 .11), и заметив, что , выводим .
Следствие 5.9. Пусть множество номеров столбцов. Справедливо равенство .
Вытекает из теоремы Лапласа и равенства определителей .
Следствие 5.10. (разложение по столбцу). Пусть j – номер столбца. Справедливо равенство .
Следствие 5.11 (разложение по строке) Пусть i – номер строки. Справедливо равенство .
Примеры использования теоремы Лапласа.
-
Умножение матриц
Определение 5.19. Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*k. Произведением матриц A*B называется матрица C размерами m*k, элементы которой находятся по формулам . Другими словами, элемент матрицы произведения, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца равен произведению i-ой строки A на j-ый столбец B.
Свойство 5.12 Пусть A*B=C. Строка i матрицы C является комбинацией строк матрицы B, причём коэффициенты берутся из i строки матрицы A. Столбец j матрицы C является комбинацией столбцов матрицы A, причём коэффициенты берутся из j столбца матрицы B.
Свойство 5.13. Произведение матриц не коммутативно.
Свойство 5.14. Произведение матриц ассоциативно.