- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Свойства определителя
Разберем свойства определителей.
Замену строк матрицы на ее столбцы назовем операцией транспонирования и обозначим через .
Свойство 5.6. Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании.
Доказательство. . Упорядочив сомножители в каждом слагаемом по возрастанию номеров строк, получим , где g обратная перестановка к f. Поскольку их произведение четная перестановка, то четность f и g совпадают и . Когда f пробегает все перестановки, то g пробегает все перестановки. От перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому .
Свойство 5.7. При перестановке двух строк определитель матрицы изменит знак.
Доказательство. Пусть матрица B получена из матрицы A перестановкой строк с номерами I и j. Транспозицию (i-j) обозначим через . Имеет место равенство . Выразим определитель матрицы B через элементы матрицы A . Учитывая равенство и тот факт , что когда f пробегает всё множество перестановок , то тоже пробегает все множество перестановок выводим требуемое свойство.
Свойство 5.8. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен 0.
Доказательство. При перестановке одинаковых строк матрица не меняется, а значит, не изменится её определитель. По доказанному ранее, определитель должен поменять знак. Выполнение этих условий возможно в единственном случае, определитель равен нулю.
Свойство 5.9. Определитель не изменится, если к строке прибавить другую строку умноженную на число.
Доказательство. Пусть матрица B получена из матрицы A прибавлением к строке i строки j, умноженной на число c. Выразим определитель матрицы B через элементы матрицы A . Раскроем скобки и переставим слагаемые, получим . Сумма является определителем матрицы, у которой две строки равны (I и j), и, значит, равна нулю. Таким образом, .
Свойство 5.10. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
Доказательство. Пусть матрица A имеет верхнее треугольный вид, т.е при i<j. Определитель матрицы равен . Если , то , поэтому в сумме ненулевое слагаемое только при . Поскольку , то аналогично рассуждая, получаем . И так далее. В результате, сумма содержит только одно ненулевое слагаемое, соответствующее тожественно перестановке, и, значит . Если матрица имеет нижнее треугольный вид, то транспонированием приведём её к верхнее треугольному виду, а потом применим Свойство 5 .10 .
Поскольку при транспонировании определитель матрицы не меняется, а преобразования со строками становятся преобразованиями со столбцами, то тем самым установлено
Свойство 5.11 Определитель матрицы
-
Изменит знак при перестановке столбцов
-
Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
-
Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
-
Вычисление определителей произвольных порядков
Преобразованиями, описанными в разделе 5.1, приводим определитель к треугольному виду. Далее, определитель равен произведению диагональных элементов.
Приведём пример вычисления определителя матрицы . Вычтем из каждой строки предыдущую (начиная с последней строки). В результате получим треугольную матрицу, по диагонали которой стоят 1. Определитель равен 1.