- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Числовые кольца, поля
Множество чисел, замкнутых относительно операции +, *, и в котором разрешимо уравнение a+x=b называется числовым кольцом.
Любое числовое кольцо содержит 0.
Множество чётных чисел - кольцо без 1
Числовое кольцо, в котором разрешимо уравнение ax=b () называется числовым полем.
Теорема 1.2 В любом числовом поле содержится поле рациональных чисел.
Доказательство. Пусть - элемент этого поля. Тогда принадлежит полю, а значит в силу замкнутости относительно операции + и все натуральные числа. Поскольку уравнение a+x=b разрешимо для всех элементов поля, то в нём содержатся все целые числа. Аналогично, из разрешимости уравнения ax=b вытекает, что в поле содержатся все рациональные числа.
Кроме поля рациональных чисел существуют другие поля. Например: числа вида образуют числовое поле.
-
Вещественные числа
Вещественным числом называется бесконечная десятичная дробь. Множество вещественных чисел является полем
-
Поле комплексных чисел
Положим . Числа вида , где называются комплексными. С комплексными числами возможны операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Множество комплексных чисел образует поле комплексных чисел.
Представление комплексного числа в виде называется его алгебраической формой. Коэффициенты a и b называются вещественной и мнимой частью комплексного числа, соответственно. Вещественную часть комплексного числа c обозначают Re(c), а мнимую часть – Im(c). Число называют комплексно сопряженным к числу c и обозначают . Отметим, что комплексно сопряженное к сумме, разности, произведению и частному комплексных чисел есть сумма, разность, произведение и частное комплексно сопряженных чисел.
-
Комплексная плоскость.
Комплексному числу c поставим в соответствие точку плоскости c координатами (Re(c),Im(c)). Это соответствие взаимно однозначное. Для вектора, соединяющего начало координат, с этой точкой определено понятие длины и угла с осью, по которой откладывается вещественная часть. Длину вектора называют модулем комплексного числа и обозначают , а угол называют аргументом комплексного числа и обозначают Arg(c). Имеют место соотношения , , . Из них получаем тригонометрическую форму комплексного числа . Данная форма полезна при вычислении произведения и частного комплексных чисел.
Теорема 1.3 Пусть и , тогда и .
Доказательство теоремы вытекает из тригонометрических тождеств и правил проведения соответствующих операций над комплексными числами в алгебраической форме.
Из данной теоремы вытекает
Теорема 1.4 (Формула Муавра-Лапласа) Для целого n и справедливо .
-
Извлечение корней, корни из единицы
Из комплексного числа существует ровно n корней степени n. Справедливо . Если , то множество всех корней n-ой степени имеет вид: .
Отсюда вытекает, что формула Муавра-Лапласа обобщается и на случай рациональных степеней. Следует иметь в виду, что она даёт одно из возможных значений, а не всё множество.
Особый интерес представляет множество корней степени n из 1. Легко проверить, что это множество замкнуто относительно операции умножения. Более того, множество корней степени n представляется как степень одного из корней, т.е. . Корень степени n из 1 называется первообразным, если последовательным возведением его в степень можно получить всё множество корней степени n из 1.
Теорема 1.5 (о первообразных) Корень из 1 вида является первообразным тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель k и n равен 1.
Доказательство. Положим и построим последовательность чисел до первого повторения. Поскольку в указанной последовательности встречаются только корни из 1 степени n, количество которых не больше n, то повтор наступит обязательно. Пусть и j>1, тогда , и повтор встретился раньше. Следовательно, s - наименьшее число, при котором , или, то же самое, ks делится на n без остатка. Наименьшее число s, при котором ks делится на n, равно n/НОД(n,k). Корень будет первообразным тогда и только тогда, когда в последовательности встречаются все корни, т.е. s=n, а значит n=n/НОД(n,k), или НОД(n,k)=1.
-
Вычисление формул специального вида
-
Вычисление формул вида
-
Введём комплексное число . Из формулы Муавра-Лапласа вытекают равенства и , сложив их, получим . Из последнего равенства выводим , и далее по биному Ньютона . Положив , придём к равенству .
-
Вычисление формул вида
Введём комплексное число . Как и выше, выводим . Подставим в сумму . Для выполнения операции деления представим 1-z в тригонометрической форме: и аналогично . После выполнения преобразований придём к окончательной формуле
-
Вычисление формул вида .
Обозначим сумму через , где j=0,1,…,d-1, а через - первообразный корень степени d из 1. Тогда, легко проверить, , где j=0,1,…,d-1. Умножим каждое из равенств на и сложим. В результате получим равенство . Запишем в тригонометрической форме возведём в степень n и подставим: или, что .
-
Многочлены
Определение 2.2Многочленом (полиномом) называется функция вида .
Коэффициенты многочлена берутся из некоторого числового множества M. Множество всех многочленов с коэффициентами из M обозначим через M(x). В качестве M обычно рассматривается числовое кольцо, либо числовое поле.
-
Операции над многочленами.
С многочленами над числовым кольцом можно проводить операции сложения, вычитания и умножения. Данные операции разобраны в школьном курсе математики. Ясно, что в результате получится многочлен с коэффициентами из этого же кольца. Интересна связь коэффициентов произведения многочленов с коэффициентами сомножителей. Пусть в результате перемножения многочленов и получается многочлен . Тогда , в правой части равенства предполагается, что при и при .
Над многочленами над числовым полем кроме перечисленных операций определена операция деления с остатком.
Теорема 2.6 (Деление многочленов)
При делении многочленов над некоторым полем частное и остаток определены единственным образом.
Доказательство очевидно.
Для деления на двучлен x-a разработана компактная схема деления, которая называется схемой Горнера. Данная схема применяется и для вычислений значения многочлена в точке.
Теорема 2.7 (Безу)
Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен x-a равен f(a).