- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Ранги матрицы.
Для матрицы можно дать три определения ранга:
-
Столбцовый ранг - ранг системы столбцов.
-
Строчечный ранг - ранг системы строк.
-
Минорный ранг - Порядок наибольшего (по размеру) отличного от нуля минора.
Теорема 7.46. Все ранги равны.
Доказательство. Для доказательства достаточно показать равенство столбцового и минорного рангов. Действительно, при транспонировании матрицы минорный ранг не меняется, а столбцовый ранг становится строчечным.
Первое доказательство. Воспользуемся критерием линейной независимости (Теорема 7 .44).
Второе доказательство. Пусть максимальный по порядку не нулевой минор расположен на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами из . Система линейных уравнений , где является крамеровской и, значит, имеет единственное решение, которое равно . Для выполняется равенство , при s=1,…,n. Пусть , . Рассмотрим минор . Вычтем из последнего столбца остальные столбцы с коэффициентами и разложим по последнему столбцу. В результате получим (все миноры порядка больше k равны 0). Поскольку , то равенство выполняется при . Таким образом, все столбцы линейно выражаются через столбцы с номерами из множества . Система уравнений имеет единственное нулевое решение, следовательно, столбцы матрицы A с номерами из J образуют базу. Ранг системы столбцов совпадает с порядком максимального не нулевого минора, что и требовалось доказать.
Следствие 7.25. Ранг произведения матриц не превосходит ранга сомножителей.
Доказательство. Пусть C=AB. По определению произведения матриц, строки матрицы C являются линейными комбинациями строк матрицы B и, значит, . Аналогично, столбцы матрицы C – линейные комбинации столбцов матрицы A, и .
-
Общее решение системы линейных уравнений.
Теорема 7.47. Размерность пространства решений однородной СЛУ равна
n-rgA.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений Ax=0. Множество решений системы не изменится, если из матрицы удалить линейно зависимые строки. Поэтому, можно считать, что число строк матрицы A совпадает с её рангом. Пусть J – множество номеров столбцов матрицы A, в которых расположен максимальный не нулевой минор, T – остальное множество номеров столбцов. Систему уравнений можно записать в виде , где подматрица матрицы A расположенная в столбцах с номерами из J, - вектор, образованный компонентами x с номерами из J. Обозначим столбец, у которого все компоненты равны 0, кроме i-ой, равной 1, через . Вектор , является решением системы линейных уравнений. Обозначим этот вектор через (). Система векторов является линейно независимой, так как в строках с номерами из T расположена единичная матрица, определитель которой не равен 0. Пусть y - произвольное решение системы линейных уравнений, тогда , и, учитывая равенство выводим и, значит, . Поскольку произвольное решение системы линейных уравнений является линейной комбинацией линейно независимой системы векторов , то эта система векторов является базисом и размерность подпространства решений равна n-rgA.
Позднее будет показано, что любое подпространство может быть задано некоторой СЛУ.
Теорема 7.48 Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме частного решения и общего решения соответствующей однородной системы линейных уравнений.
Доказательство. Очевидно.
Множество решений системы линейных уравнений (не однородной) называется линейным многообразием.