- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Изоморфизм линейных пространств.
Определение 7.35 Линейные пространства над числовым полем P называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между векторами этих пространств, сохраняющее операции сложения векторов и умножения на скаляр.
Для доказательства изоморфизма линейных пространств V и W требуется построить взаимно однозначное отображение , обладающее свойствами сохранения операции:
-
,
-
,
Следствие 7.24. При изоморфизме нулевой вектор переходит в нулевой вектор.
Доказательство. Действительно, .
Лемма 7.14 Пусть V, W, U линейные пространства над полем P. Пусть W изоморфно V, а V изоморфно U, тогда W изоморфно U.
Доказательство. По условию существуют взаимно однозначные соответствия и , обладающие свойствами сохранения операции, то есть
-
,
-
,
-
,
-
,
Отображение , получаемое последовательным применением и , является взаимно однозначным соответствием между пространством W и пространством U. Далее, имеем
-
, где .
-
, .
Тем самым изоморфизм установлен.
Лемма 7.15 Пространство V над числовым полем P размерности n изоморфно арифметическому пространству .
Доказательство. Пусть - базис V. Каждому вектору x из V поставим в соответствие его координаты. Данное соответствие является взаимно однозначным (Теорема 7 .39) и сохраняет операции. Тем самым изоморфизм установлен.
Лемма 7.16. При изоморфизме базис переходит в базис.
Доказательство. Пусть - изоморфизм пространства V на W, - базис V. Разложим произвольный вектор x из V по базису . По определению изоморфизма , и значит, в силу взаимно однозначности отображения, через систему векторов линейно выражается любой вектор пространства W. Методом от противного покажем линейную независимость системы векторов . Пусть не так, тогда найдутся числа , не все равные нулю, что . Последнее равенство, используя свойства изоморфизма, запишем в виде . В силу взаимно однозначности изоморфизма выводим , т.е. система векторов - линейно зависима. К полученному противоречию с условиями нас привело допущение о линейной зависимости системы векторов . Таким образом, система векторов является полной линейно независимой системой, т.е. базисом линейного пространства W.
Теорема 7.45. Линейные пространства V и W над полем P изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.
Доказательство. Если размерности пространств V и W совпадают и равны n, то оба пространства изоморфны (Лемма 7 .15), а, значит и между собой (Лемма 7 .14). Обратно, если пространства изоморфны, то при изоморфизме базис переходит в базис (Лемма 7 .16), и, значит, размерности пространств равны.
Изоморфизм пространств позволяет переносить терминологию, принятую в одном пространстве на изоморфные пространства. Например, можно говорить о прямой в пространстве многочленов.
-
Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
Опишем множество точек, лежащих на прямой l, проходящей через точки A, B. Если , то векторы и коллинеарные, т.е отличаются числовым множителем. Пусть . Выразим отсюда x: . Данное уравнение называется параметрическим уравнением прямой. Вектор A-B принадлежит прямой и называется направляющим вектором прямой.
В зависимости от параметра получаем различные точки прямой. Если , то получим точку X из отрезка , причём . Если , то получаем точку X, что отрезок содержит точку A, причём . Если , то получаем точку X, что отрезок содержит точку B, причём .
Пусть A,B,C три точки не лежащие на одной прямой. Опишем множество точек плоскости , проходящей через эти три точки. Точка x лежит на плоскости тогда и только тогда, когда вектор x-A является линейной комбинацией векторов B-A и C-A. Следовательно, параметрическое уравнение плоскости имеет вид . Векторы B-A и C-A называются направляющими векторами плоскости.
В
Пусть система векторов - линейно не зависима. Множество точек вида называется линейным многообразием.
Для иллюстрации приведённой теории решим следующую задачу:
Доказать, что в произвольном тетраэдре, все отрезки соединяющие вершины с точкой пересечения медиан треугольника, образованного вершинами противоположной грани, пересекаются в одной точке и найти отношение, в котором делит эти отрезки точка пересечения.
В начале решим вспомогательную задачу: выразить точку пересечения медиан треугольника через его вершины. Обозначим вершины треугольника через A,B,C. Векторы AB и AC выберем в качестве базиса. Тогда, точки имеют координаты A=(0,0), B=(1,0), C=(0,1). Обозначим середину отрезка [BC] через F. Точка F имеет координаты (1/2,1/2). Отрезок [AF] делится точкой пересечения медиан O в соотношении 2:1, следовательно, O=(1/3,1/3). Таким образом, . Рассматривая плоскость как линейное многообразие, получаем . Обозначим через ABCD вершины тетраэдра. В качестве базиса выберем векторы AB, AC, AD. Тогда A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1). Точку пересечения медиан треугольника BCD обозначим через F, треугольника ACD – через G. Координаты этих точек равны F=(1/3,1/3,1/3), G=(0,1/3,1/3). Параметрическое уравнение прямой AF имеет вид x=a(1/3,1/3,1/3), а прямой BG x=(1,0,0)+b(-1,1/3,1/3). Точка пересечения H этих прямых находится из системы уравнений a(1/3,1/3,1/3)=(1,0,0)+b(-1,1/3,1/3) и H=(1/4,1/4,1/4) (получается при a=b=3/4). Отрезки AF и BG в точке пересечения делятся в отношении 3:1. Выбирая в качестве B любую вершину тетраэдра (отличную от A) получим, что все отрезки соединяющие вершины с точкой пересечения медиан треугольника, образованного вершинами противоположной грани, пересекаются в одной точке H и делятся в отношении 3:1.