- •Понятие мощности мн-ва.
- •7. Классификация точек и мн-в в метр.Пр-ве.
- •8 Связь между замкнутыми и открытыми множествами.
- •9. Операции над открытыми и замкнутыми множествами.
- •10. Структура открытых, замкнутых и совершенных множ. На прямой.
- •11. Канторово множ и его свойства.
- •12.Понятие о ф-ии с ограничен изменением. Понятие спрямляемой кривой.
- •13. Внешняя и внутренняя меры Лебега линейных множеств и их свойства.
- •14.Измеримые множ. Примеры множеств нулевой меры. Измеримость дополнения измеримого множ. Действия над измеримыми множ.
- •16. Измеримые функции. Свойства измеримых функций.
- •Вопрос 17.
- •18. Интеграл Римана. Теорема Лебега. Примеры.
- •19. Интеграл Лебега и его свойства.
- •20. Существ. Интеграла Лебега.
- •21. Интеграл Лебега и Римана.(сравнение)
- •22.Срезка неотр. Ф-ии и её св-ва. Суммируемые неотрицательные ф-ии. Суммир-ые ф-ии любого знака.
- •23. Сходящиеся и фундаментальные последовательн. Метрических пространствах и их связи. Полные метрические пространства.
- •24. Отображение метрических пространств.
- •25.Связные множества. Свойства непрерывных отображений связных множеств.
- •26.Сжимающие отображения. Т Банаха.
- •27. Применение принципа сжимающих отображений.
- •28.Линейные нормированные и гильбертовы пространства. Пространство функций, суммируемых по Лебегу.
- •29. Ортогональные системы.
- •30. Ряд Фурье. Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье.
- •33. Полнота ортогональной системы и ее связь с замкнутостью
- •34. Уравнение свободных колебаний.
24. Отображение метрических пространств.
Ранее рассматривалось общее понятие ф-ции (отображения).
Это понятие можно рассмотреть на случай когда в качестве мн-в Х и У могут выступать разные мн-ва (мн-ва принадлежащие разным метрическим пр-вам с разной метрикой).
(нарисовать самим) У
- метрика в М, - метрика в
у=f(x), хХ
у=Fx, уУ
очень часто вместо слова ф-ция при отображении метрических пространств употребляется слово оператор.
F: ХУ
F – оператор
f – оператор
т.к в метрических пространствах имеет место понятие окр-ти то легко для случая метрических пространств понятие о пределе непрерывности, равномерной непрерывности.
25.Связные множества. Свойства непрерывных отображений связных множеств.
Оператор f называется непрерывным в т-ке
Если по заданному можно найти такое которое годится сразу для всех х, то, говорят, что оператор f явл-ся равномерно непрерывным т.е f – равн непр оп ()(=)
Опр-ие: мн-во Е метрического пр-ва М наз-ся связным если при любом разбиении его на две непересекающиеся части хотя бы одно из них содержит точку прикосновения другого множества.
Др словами связное мн-во нельзя разбить на несоприкасающиеся части.
Пример связного мн-ва. Интервал, отрезок, полуинтервал, круг.
Например любое дискретное числовое мн-во не связное. Два круга рассматриваются как единое мн-во. Пусть мн-во Е метрического пр-ва М является связным множеством. Пусть оператор f преобразует это мн-во f: Е в другое метрическое пространство.
Мн-во будет связным, если оператор f будет непрерывно. Другими словами, связность – св-во мн-ва яв-ся инвариантом непрерывных отображений.
Справедлива сл теорема:
Теорема: образ связного мн-ва при непрерывном отображении явл-ся связным мн-вом.
Пример1. - шар радиуса с центром в т-ке без границы (с границей) мн-во будет связным,( но не открытое)
Опр-ие: связное открытое мн-во наз-ся областью.
Пример2. предыдущий в скобках. .
Пример3. , то мн-во связное, но не отврытое (т.к т-ка не внутренняя точка мн-ва) мн-во не связное(т.е не область).
26.Сжимающие отображения. Т Банаха.
Пусть в полн. метр. пр-ве Х задан оператор Ах, переводящий эл-ты Х Х Отобр-е А: Х Х назыв сжимающим, еслитакое число(0<<1), что (Ах,Аy) (x,y), x,yX. Отобр-е А: Х Х имеет неподвиж. точ.x0 если А x0= x0
Теорема: сжим. отоб-е А полн. метр. пр-ва в себя имеет и притом единств. непод.точ.
Док-во: пусть Х-полн.метр.пр-во и А: Х Х-сжим.отоб-е. 1)хX-произв. фиксир. эл-т.Построим послед-ть эл-ов {xn} по след. закону: х1=Ах, х2=Ах1, х3=Ах2 … xn=Axn-1 и док-м, что {xn}сходится в себе, т.е. (xn,xm)0 (n) m=n+p,т.е. .е>0n0, n,m>n0 (xn,xm)<е Оценим (x1,x2)= (Аx,Аx1) (x,х1) = (x,Ах), (x2,x3)= (Аx1,Аx2) (x1,х2) 2 (x,Ах), (x3,x4) = (Аx2,Аx3) (x2,х3) 3(x,Ах)… (xn,xn-1)=(Аxn-1,Аxn) (xn-1,хn) n(x,Ах). (xn,xm)=(xn,xn+p) (xn,хn+1)+(xn+1,хn+2)+…+(xn+p1,хn+p) n(x,Ах)+ n+1(x,Ах) +…+n+p-1(x,Ах)= (x,Ах)( n+ n+1+ …+ n+p-1) (x,Ах) если n,то 0, (xn,xm)0 2)Док-м,что x0X, А x0= x0. В силу полноты Х x0X, что (xn,x0)0, т.е. е>0n0, n>n0 (xn,x0)<е . док-ем, что А x0= x0, т.е. (Аx0,x0)=0 (x0,Аx0) (x0,xn)+ (xn,Аx0)= (x0,xn)+ (Axn-1,Аx0) (x0,xn)+ (xn-1,х0) e/2+e/2(т.к. е очень мало)
[n0, n,n-1>n0 (xo,xn)<е/2, (xn-1,x0)<е/2 ] 3) док-м, что x0 -единств. Пусть x,y-непод. точ., тогда А x= x, А y= y , (Ax,Аy) (x,y), (x,y)>0,то
1,а <1