34. Уравнение свободных колебаний.
Рассмотрим участок колеблющейся струны (см. рис.).
Воздействие
на него остальной части струны заменим
силой натяжения
.
Колебания считаем малыми, удлинением
струны при колебаниях пренебрегаем,
колебания считаем перпендикулярными
к оси
.
Обозначим
-
отклонение точки
от
оси
;
-
время. Уравнение возникнет, если
приравнять силы инерции участка проекции
на ось
сил натяжения. Сила инерции:
.
Здесь
-
плотность
,
- ускорение. (Действительно, для малого
участка по закону Ньютона эта сила равна
произведению массы на ускорение:
;
суммируем; «измельчаем»
;
переходим к пределу – обычная конструкция
интеграла.)
Проекция
сил натяжения:
.
Итак, уравнение имеет вид
или
.
Однако
при малых
имеем
.
Поэтому
,
и поскольку равенство
должно выполняться на любом участке
,
подинтегральная функция равна нулю:
,
где
.
Это и есть искомое волновое уравнение
для струны.
Замечания.
1.При
изучении колебаний плоской пластинки
,
а для случая тела:
.
2. Следует ожидать, что указанное уравнение будет иметь много решений, и для однозначности описания колебательного процесса нужны дополнительные условия. Обычно они бывают двух типов: граничные (краевые) – фиксируются условия на концах и начальные – задаются, напр., начальное положение и скорость точек струны.