- •Понятие мощности мн-ва.
- •7. Классификация точек и мн-в в метр.Пр-ве.
- •8 Связь между замкнутыми и открытыми множествами.
- •9. Операции над открытыми и замкнутыми множествами.
- •10. Структура открытых, замкнутых и совершенных множ. На прямой.
- •11. Канторово множ и его свойства.
- •12.Понятие о ф-ии с ограничен изменением. Понятие спрямляемой кривой.
- •13. Внешняя и внутренняя меры Лебега линейных множеств и их свойства.
- •14.Измеримые множ. Примеры множеств нулевой меры. Измеримость дополнения измеримого множ. Действия над измеримыми множ.
- •16. Измеримые функции. Свойства измеримых функций.
- •Вопрос 17.
- •18. Интеграл Римана. Теорема Лебега. Примеры.
- •19. Интеграл Лебега и его свойства.
- •20. Существ. Интеграла Лебега.
- •21. Интеграл Лебега и Римана.(сравнение)
- •22.Срезка неотр. Ф-ии и её св-ва. Суммируемые неотрицательные ф-ии. Суммир-ые ф-ии любого знака.
- •23. Сходящиеся и фундаментальные последовательн. Метрических пространствах и их связи. Полные метрические пространства.
- •24. Отображение метрических пространств.
- •25.Связные множества. Свойства непрерывных отображений связных множеств.
- •26.Сжимающие отображения. Т Банаха.
- •27. Применение принципа сжимающих отображений.
- •28.Линейные нормированные и гильбертовы пространства. Пространство функций, суммируемых по Лебегу.
- •29. Ортогональные системы.
- •30. Ряд Фурье. Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье.
- •33. Полнота ортогональной системы и ее связь с замкнутостью
- •34. Уравнение свободных колебаний.
20. Существ. Интеграла Лебега.
Теорема: Инт. Лебега от ограниченной измеримой ф-ии f(x) определяемой на измеримом м-ве Е существует по этому мн-ву (без док-ва). Заметим, что инт. Лебега может быть рассмотрен по определению если ф-ия f(x) ограничена и измерима на мн-ве Е. и согластно данной теореме интеграл от неё существует (т.е для какой ф-ии инт.Лебега определён, для такой ф-ии инт.Лебега и существует). Теория интеграла Римана менее совершенна т.к. интеграл Римана берётся для ограниченных ф-ий, но класс ф-ии для которых интеграл Римана существует чётко не обозначен. Нами были сформулированы некоторые достаточные условия (непрерывности ф-ии, существование конечного мн-ва точек разрыва и т.д.). заметим, что класс ф-ии интергируемых по Риману может быть записан чётко в терминах инт.Лебега.
21. Интеграл Лебега и Римана.(сравнение)
Пусть на измеримой мн-ве Е дана измеримая ограниченная функция f(x), что m<=f(x)<=M. В отличии от построения интегральной суммы Римана, здесь мы будем разбивать на части не мА-ва, на к-ом определена ф-ия,а на значения (отрезок) в к-ый входят все значения ф-ии. Разобъём [m,M] на части =М. Составим интегральную сумму Лебега S= где - это мера такой части Е, на к-ой выполняется указанное 2ое нер-во, причём эта часть мн-ва Е ял. Измеримым мн-вом т.к. ф-ия f(x) измерима по условию. Обозначим через максимальную разность . Теория интеграла Римана менее совершенна т.к. интеграл Римана берётся для ограниченных ф-ий, но класс ф-ии для которых интеграл Римана существует чётко не обозначен. Нами были сформулированы некоторые достаточные условия (непрерывности ф-ии, существование конечного мн-ва точек разрыва и т.д.). заметим, что класс ф-ии интергируемых по Риману может быть записан чётко в терминах инт.Лебега.
22.Срезка неотр. Ф-ии и её св-ва. Суммируемые неотрицательные ф-ии. Суммир-ые ф-ии любого знака.
Понятие инт.Лебега можно обобщить на случаи неогранич.ф-ии, укажем идею такого обобщения. Будем рассматривать неограниченные и неотриц. Измеримые ф-ии. Назовём ф-ию [f(x)]N срезкой ф-ии f(x), к-ая определяется следующим образом
[f(x)]N = . если этот предел существует ,то его наз-ют интегралом Лебега от неограниченной неотриц. Ф-ии. Если , где f(x) неогран. Неотриц. Ф-ия существует, то ф-ия f(x) наз-ся суммируемой ф-ией. Мн-во всех суммируемых на отрезке [a,b] ф-ии образует пространство L1. оно Явл. Метрическим, если ввести расстояние между ф-иями f1(x), f2(x),
. Рассмотрим случай инт.Лебега для неогран. Ф-ии произвольного знака. Введём в рассмотрение 2е вспомогательные ф-ии
; тогда инт.Лебега где f(x) – неогран. Ф-ия произвольного знака.
23. Сходящиеся и фундаментальные последовательн. Метрических пространствах и их связи. Полные метрические пространства.
Примеры. во мн-ве R всякое фундаментальная последовательность действител. Чисел Явл. Сходящейся. Необходимо определить понятие сходящейся послед. . Послед-ть точек метрического простр. Имеющая предел наз-ся сходящейся. Последовательность (xn) точек метрического простр. Наз-ся фундаментальной, если другими словами с ростом номеров члены данной последов. Неограниченно приближаются друг к другу. . Опр. Метрическое пространство М наз-ся полным, если в нём каждая фундаментальная последовательность сходится к точке этого пространства. М – полное метрическое пространство по определению (xn) – фундаментальная следует . Легко убедиться, что для полного пространства М имеет место критерий Коши (необх. И дост. Условие сходимости последовательности точек метрического пространства). Критерий Коши: послед точек полного метрического пространства сходится т. И т. Т., когда она фундаментальна. Пример:Можно показать пользуясь указанным определением,что пространство R, полные.