11. Канторово множ и его свойства.

Большой интерес представляет пример совершенного множества, который привел Георга Кантора.

Для построения этого множестве рассмотрим множ всех троичных дробей, задающих числа из отрезка в записи которых нет 1.

Это множество обладает следующими свойствами:

1. - ограничено

2. - совершенное

3. - нигде не плотно на прямой, т.е. между любыми двумя точками лежит промежуток исел не входящих в .

4. .

12.Понятие о ф-ии с ограничен изменением. Понятие спрямляемой кривой.

Пустьf(х)определена на [а,b]Разбиваем отр на части а=х0<х1<…<хn-1< хn=В и составляем сумму v=∑|f(x_i+1)-f(x_i)| .При всевозможных разбиениях получаем множество{v}.

Опр. f(х) наз ф-ей с ограничен изменением(или ограниченной вариации)на [а,b],если {v}ограниченно.

sup{v}=V(f) наз полным изменением(вариацией) f на [а,b].

Т.Монотонная на [а,b]ф-я имеет ограниченное изменение .Доказ.Пусть для определенности f(х)не убывает.Тогда f(х_i+1)-f(х_i)>=0 и v=f(b)-f(a)(ост члены вщаимноуничтожаются).Поскольку результат не зависит от разбиения,теорема доказана.Эта теорема легко обобщается на случай кусочно-монотонных ф-ий(для кот [а,b] может быть разбит на конечное число промижутков монотонности.Т.Если f '(х)существ и ограничен на[а,b],то f(х)имеет ограничение изменение на [а,b].Доказ-о.Пусть |f’'(х)|<=М,тогда по теореме Л: |f(x_i+1)-f(x_i)|=|f’(c_i)|(x_i+1-x_i)<=M(x_i+1-x_i) И поэтому v<=M∑(x_i+1-x_i)=M(b-a).Зам .Ф-ия с ограничен изменением не обязателтно непрерывна и из непрер-и ф-ии не след-т огр-тьее вариации.

О понятии спрямляимости кривых

В общем виде жордановые кривые задаются в параметрической форме х(t)иy(t)-непрерывные ф-ии.Частн случай-явное задание кривой: y= f(х)-непрер.,a<=х<=b.Разаьем кривую на части и впишем ломаную,периметр обозначим Р,Кривая наз спрямлчемой(имеющ длину),если существует lim P ,который и считается ее длинойюЗдесь λ -длина наибольшего звена ломаной: λ=max l_i Имеется в виду,что предел не зависит от способа “измельчения»разбиения.Можно использовать и другте,эквивалентные предыдущему,определения спрямляемости:рассмотрим всевозможные разбиения кривой на конечн число частей;возникает мн-во {Р}длин вписанных ломаных;если {Р}ограничено,то крив наз спрямляемой и sup{P}-ее длина.

Эквивалентность этих опред-й требует док-ва.мы ограничимся здесь лишь указаниями на некот.его идеи. Если {P}ограничено,то любая последовательность «измельчения»разбиения приводит к возникновению монотонно возр.и огран.сверху послед-ти длин вписанных ломаных, поэтому соответств.предел lim P существует. Показать,что он всегда будет один и тот же и совпадает с sup{P},можно,используя св-во равномерной непрер-ти ф-й,задающих кривую.Наоборот,если указан-й предел сущест-т и не зависит от способа разбиения кривой,то sup{P}не может быть >его(а <он заведомо быть не может),т.к.иначе сущест-ли бы сколь угодно мелкие(по вел-неλ)разбиения кривой,для которых Р не попадали бы в достаточно малую ε-окрестность limP, что противор.опред-ю предела.Пользуясь вторым вариантом опред-я,рассм.след-ее. Необх.и достат.условие спрямляем-ти кривой. Для простоты ограничимся случаем явного задания кривой.Т.(Жордана)Кривая y=f(x),a≤x≤b-спрямляема т.и.т.т,когда f(x)имеет ограниченное измен.на [a,b].Доказ.1.Необх-ть.Пусть длина кривой S=sup{P}.Разобьем[a,b]на части и составим v=∑|f(x_i+1)-f(x_i)|≤∑l_i=P≤S.Эта оценка не зависит от разб.,т.е.{v}огр-но сверху числом S.

2.Дост-ть.Пусть f(x)имеет огранич-ое изм-е на[a,b].Возьмем любое разб-е кривой.Тогда P=∑l_i=∑√(x_i+1-x_i)²+[ f(х_i+1)-f(х_i)]²≤∑(x_i+1-x_i)+∑| f(х_i+1)-f(х_i)|=(b-a)+v≤b-a+V(f).(Мы воспольз.нер-вом √a²+b²≤|a|+|b|.)Поскольку последн.оценка не зависит от исход.разб-я,{P}огранич.сверху,т.е.кривая спрямляема.Замечание.Эта теорема м.б.обобщена на случай кривых,заданных параметрически,как плоских,так и пространств.:x=x(t),y=y(t),z=z(t), tє[α,β].