- •Понятие мощности мн-ва.
- •7. Классификация точек и мн-в в метр.Пр-ве.
- •8 Связь между замкнутыми и открытыми множествами.
- •9. Операции над открытыми и замкнутыми множествами.
- •10. Структура открытых, замкнутых и совершенных множ. На прямой.
- •11. Канторово множ и его свойства.
- •12.Понятие о ф-ии с ограничен изменением. Понятие спрямляемой кривой.
- •13. Внешняя и внутренняя меры Лебега линейных множеств и их свойства.
- •14.Измеримые множ. Примеры множеств нулевой меры. Измеримость дополнения измеримого множ. Действия над измеримыми множ.
- •16. Измеримые функции. Свойства измеримых функций.
- •Вопрос 17.
- •18. Интеграл Римана. Теорема Лебега. Примеры.
- •19. Интеграл Лебега и его свойства.
- •20. Существ. Интеграла Лебега.
- •21. Интеграл Лебега и Римана.(сравнение)
- •22.Срезка неотр. Ф-ии и её св-ва. Суммируемые неотрицательные ф-ии. Суммир-ые ф-ии любого знака.
- •23. Сходящиеся и фундаментальные последовательн. Метрических пространствах и их связи. Полные метрические пространства.
- •24. Отображение метрических пространств.
- •25.Связные множества. Свойства непрерывных отображений связных множеств.
- •26.Сжимающие отображения. Т Банаха.
- •27. Применение принципа сжимающих отображений.
- •28.Линейные нормированные и гильбертовы пространства. Пространство функций, суммируемых по Лебегу.
- •29. Ортогональные системы.
- •30. Ряд Фурье. Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье.
- •33. Полнота ортогональной системы и ее связь с замкнутостью
- •34. Уравнение свободных колебаний.
7. Классификация точек и мн-в в метр.Пр-ве.
О: Пусть дано нек.мн-во Е. . Неотриц.функция (х,у), ставящая в соотв-е любой паре Эл-тов х,у мн-ва Е некот.неотриц.действ.число, удовл-ее след.трем аксиомам: 1) =0 х=у (акс.тождества); 2) =(акс.симметрии); 3)
(акс.треугольника); наз-ся расстоянием во мн-ве Е (метрикой этого мн-ва). Мы будем рассматривать только лин.мн-ва, т.е. мн-во точек числ.прямой. метрика этого пр-ва .
О: Окр-тью точки х0 наз-ся мн-во точек х метр.пр-ва, для кот выполн-ся условие: .
О: Точка наз-ся предельной точкой мн-ва Е, если в любой окр-ти точки х0 содерж-ся хотя бы одна точка, отличная от х0. Из опр-я ясно, если точка х0 –предельная точка мн-ва Е, то в люб.окр-ти этой точки содерж-ся беск.много эл-тов из мн-ва Е.
О: Мн-во всех предельных точек мн-ва Е наз-ся производным мн-вом и обознач-ся Еl.
О: Мн-во наз-ся замыканием мн-ва E.
О1: Если , то Е наз-ся замкнутым.
О2: Е наз-ся замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
О3: Мн-во Е наз-ся замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.
О: Точка х0 наз-ся точкой прикосновения мн-ва Е, если в люб.окр-ти точки х0 содер-ся хотя бы одна точка этого мн-ва. Любая пред.точка одновременно явл-ся точкой прикосн-я, но не наоборот. Точка прикосн-я м.б. либо предельной, либо изолир-ой.
О: Точка х0 наз-ся внутр.точкой мн-ва, если она входит в это мн-во вместе с нек.своей окр-тью.
О: Мн-во Н наз-ся открытым, если любая точка этого мн-ва внутр-яя.
О: Мн-во Е наз-ся плотным в себе, если все его точки явл-ся пред-мя для мн-ва Е.
О: Мн-во Е наз-ся соверш-ым мн-вом, если оно одновр-но явл-ся замкнутым и плотным в себе.
Пример. . Не явл-ся открыт.мн-вом,т.к. т.с-изолир-я, а т.d и е не явл-ся внутр-ми. -мн-во всех пред.точек. Мн-во Е не явл-ся замкнутым, т.к. а и b не принадлежат мн-ву Е. -внутр.точки мн-ва, т.к. они входят в это мн-во вместе с нек.своей окр-тью. Мн-во Е не явл-ся плотным в себе, т.к. , но .
О: Пусть даны 2 мн-ва А и В, причем В содерж-ся в А, тогда - наз-ся дополнением мн-ва В до А. Если мн-во замкнутое, то его дополнение – открытое. Если мн-во открытое, то его дополнение – замкнутое.
8 Связь между замкнутыми и открытыми множествами.
Т.: Если множество F замкнутое, то его дополнение открытое множество.
Док. Пусть , тогда (по определении дополнения), значит т.не является предельной точкой для множ. , т.к. - замкнутое и доложно содержать все свои предельные точки т.к. т. не явл. предельной, значит существует некоторая окрестность т.не сдержащая точек из , следовательно, т. является внутренней точкой множества , следовательно множ. открытое множество, т.к. все рассуждения можно было повторить для любой т.
Справедливо следующее заключение: Если множество открытое, то - замкнутое.
Док. Пусть . Тогда, так как -открытое, существует окрестность , целиком заполненная точками . Эта окрестность не содержит точек , а поэтому не может быть предельной для . Следовательно, ни одна предельная точка не принадлежит , и содержит все свои предельные точки, т.е. замкнутое.