29. Ортогональные системы.

Ранее мы рассматриваем понятие тригонометр. ряда Фурье, который расклад. некотор. периодическая функция

Этот ряд построен на системе ортогональных функций:

Опр. Сист. функций называется ортогональной на , если интеграл

Св-ва ортогональности системы тригонометр. функций, позволило получить простые выражения для коэффициентов ряда, в который разлагается данная функция, ясно, что для другой ортогональной системы функций можно действовать по той же схеме: ставить вопрос о разложении функции некоторого класса в функциональный ряд и получить понятие обобщенного ряда Фурье.

, где

.

В этом случае мы предполагаем, что ортогональность системы функций определена по аналогии с предыдущий случаем, однако интеграл нужно понимать в смысле интеграла Либега, т.е.

Опр. Функции называется попарно ортогональными, если на ,

.

30. Ряд Фурье. Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье.

Ряды Фурье обладают важным экстремальным свойством.

Пусть - ортогональная система функций на , достаточно предположить что и пусть - функция, того же класса (суммируема с квадратом)

Ставится следующая задача:

Среди всех возможных комбинаций из функции вида

Найти такую, которая имеет наименьшее среднеквадратичное отклонение от функции , т.е. та линейная комбинация, для которой имеет наименьшее значение, т.е. понимается в смысле расстояния в пространстве заметим, что величину можно представить в виде (самостоятельно) .

31.Неравенство Бесселя. Сходимость ряда Фурье. Свойство экстремальности: отрезок рядя Фурье дает наименьшее среднее квадратическое отклонение от функции ( в смысле расстояние в пространстве ) в классе всех рядов, построенных на базе данной ортогональной системы ф-ий. Заметим что это свойство еще ни как не означает, что формально построенный ряд Фурье для данной ф-ии f(x) будет к ней сходиться. В самом деле для обобщенного ряда Фурье величина , и указанная сходимость будет иметь место лишь при условии: при . Иначе говоря, верно: - неравенство Бесселя., а сходимость ряда Фурье к соответствующей ф-ии f(x) будет иметь место, лишь если выполняется уравнение замкнутости (равенство Парсеваля): .

33. Полнота ортогональной системы и ее связь с замкнутостью

Система ненулевых векторов {x_α} из R называется ортогональной, если (x_α, x_β)=0 при .

Если векторы {x_α} ортогональны, то они линейно независимы. Пусть

Поскольку {x_α} – ортогональная система, имеем:

,

но и, значит a_i=0 для всех i=1,2,…,n.

Если ортогональная система {x_α} полна (т.е. наименьшее содержащее ее замкнутое подпространство есть все R), то она называется ортогональным базисом.

Рассмотрим сепарабельное евклидово пространство (т.е. содержащее счетное всюду плотное множество).

Ортогональная нормированная система φ₁, φ₂,…, φ_n, … называется замкнутой, если для любого справедливо равенство , называемое равенством Парсеваля. Теорема: В сепарабелевом евклидовом пространстве R всякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой, и обратно. Док-во: пусть система {φ_n} замкнута; тогда каков бы ни был элемент , последовательность частичных сумм его ряда Фурье сходится к f. Это означает, что линейные комбинации элементов системы {φ_n} всюду плотны в R, т.е. система {φ_n} полна. Обратно, пусть система {φ_n} полна, т.е. любой элемент можно сколь угодно точно аппроксимировать линейной комбинацией элементов системы {φ_n}; частичная сумма ряда Фурье для f дает не менее точную аппроксимацию. Следовательно, ряд сходится к f, и равенство Парсеваля имеет место.