13. Внешняя и внутренняя меры Лебега линейных множеств и их свойства.

Для простейших мн-в на прямой ([a,b],(a,b),[a,b),(a,b]) меру можно определить как разность b-a. Проблема заключается в том, чтобы обобщить понятие меры на случай более широкого класса линейных мн-в, при этом необходимо соблюдать требования к понятию мера: 1)неотрицательность 2)аддитивность 3)инвариантность при движении. Будем рассматривать только класс ограниченных мн-в из отрезка [0,1]. Рассмотрим сначала мн-во G-открытое, оно представляет собой сумму конечного или счетного мн-ва интервалов, G-это сумма(объединение), следовательно, его меру (mG)можно найти как mG=∑ma_i. Если мн-во F замкнутое, то его меру легко определить как: mF=1-m(CF), CF-открытое, 1-мера [0,1]. Пусть задано произвольное мн-во E. Наша цель определить меру этого мн-ва. «Покроем» его конечной или счетной суммой интервалов длины которых обозначим α_i. Очевидно, что∑α_i=0, т.е. можно «покрывать» разными способами, но мн-во таких сумм ограниченное снизу по всевозможным покрытиям, т.е. сущ. точная нижняя граница: inf{∑α_i }. Эта величина зависит только от мн-ва Е. Мы назовем её внешней мерой мн-ва Е и обозначим: inf{∑α_i }=m*Е. Введем понятие внутренней меры мн-ва Е: m_*Е=1- m*СЕ

Св-ва этих мер:

1° Учитывая опр. точной нижней границы: Для любого ε>0 сущ такое покрытие мн-ва Е системы интервалов, что m*Е≤∑α_i<m*Е+ε

2° Внешняя и внутренняя меры мн-в не отрицательны (следует из опр.)

m*СЕ≤∑α_i≤1, m_*Е≥0

3° Связано с оценкой значений данных мер: внутренняя мере мн-ва Е не превосходит внешней меры мн-ва Е: m_*Е≤m*Е. По 1° для мн-ва Е можно найти такое покрытие системами интервалов, что соответственно будут выполняться неравенства: ∑α_i<m*Е+ ε и ∑β_i<m*СЕ+ε. Сложим эти нер-ва: ∑α_i+∑β_i<m*Е+m*СЕ+2ε, т.к. суммарно окажется покрыт весь отрезок [0,1].

4° Если мн-во Е₁ явл. подмн-ом мн-ва Е, то внешняя мера мн-ва Е₁ не превосходит внешней меры мн-ва Е. m*Е₁≤m*Е, и, анаголично, m_*Е₁≤m_*Е. Док-во следует из того, что любое покрытие мн-ва Е будет так же и покрытием для мн-ва Е₁. Второе нер-во доказывается по опр. внутренней меры и по опр. Дополнения

14.Измеримые множ. Примеры множеств нулевой меры. Измеримость дополнения измеримого множ. Действия над измеримыми множ.

Опр. Если внутренняя и внешняя меры мн-ва Е равны, то мн-во Е наз. измеримым мн-вом (по Лебегу), а их общее значение наз. мерой мн-ва Е (Лебега) и обозначается mЕ

Из опр. следует, что если мн-во Е измеримо, то измеримым будет и его дополнение при чем справедлива формула: mСЕ=1-mЕ.

m_*СЕ=1-m*Е=1-mЕ (т.к. Е-измерима )

m*СЕ=1-m_*Е=1-mЕ

m_*СЕ=m*СЕ≥mСЕ

Нами док-но св-во: если измеримо мн-во, то измеримо и его дополнение.

Примеры измеримых множеств:

1. Все открытые и замкнутые мн-ва измеримы, т.к. опр. их меры сводится к частному опр. меры описанному выше. Например, канторово совершенное мн-во измеримо, т.к. оно замкнуто. И его мера mP₀=0.

2. Если мн-во имеет внешнюю меру =0, то мера всего мн-ва =0

3. Всякое конечное мн-во измеримо и его мера =0. Пусть, мн-во Е-конечное, т.е. состоит из n-точек. Покроем это мн-во интервалами длина которых будет равна α_i= ε/n, ε→0

4. Пустое мн-во измеримо и его мера =0. Т.к. пустое мн-во можно рассматривать как подмн-во любого мн-ва, в том числе и конечного. По св-вам мн-во Е измеримо, следовательно мера данного мн-ва данного мн-ва=0

5. Любое счетное мн-во измеримо и его мера =0. Так как мн-во счетное, то его можно расположить в последовательность {ζ₁, ζ₂,…,ζ_i,…}. Покроем всё это мн-во системой интервалов. Для любого ε>0, ε/2, ε/4, ε/8, ε/2ⁿ….

∑α_i=ε/2+ε/4+ε/8+…+ε/2ⁿ+…= =ε(1/2+1/4+1/8+…+1/2ⁿ)= ε

Укажем без док-ва некоторое св-во измеримых мн-в: Если мн-во Е₁ и Е₂ измеримы, то измеримыми будут мн-ва: Е₁∩Е₂, Е₁\Е₂, Е₁ƯЕ₂. Если мн-ва Е₁ и Е₂ измеримы и не пересекаются, то объединение этих мн-в (мера) равна объединению этих мер: m(Е₁ƯЕ₂)=mЕ₁Ưm Е₂. Если мн-во Е₁, Е₂,…, Е _n,… измеримы и попарно не пересекаются, то

m(Ư Е_i) = ∑ mЕ_i

Сумма и пересечение счётного мн-ва измеримых мн-в измеримо. Это св-во выражается в рав-ве

m(Ư Е_i)=∑mЕ_i – полная аддитивность меры Лебега