27. Применение принципа сжимающих отображений.

Принцип сжимающих отображений может использоваться при доказательстве существования и единственности решения уравнений разных типов. Рассмотрим примеры.

1. Пусть дано уравнение F(x)=0, . Формально его можно переписать в виде x=f(x), где f(x)=x+F(x). Предположим, что для f выполнено условие Липшица:

, где и 0<k<1 (оно заведомо имеет место, например, если f – дифференцируема и ). По предыдущей теореме существует единств. неподвижная точка x₀ для оператора f, т.е. решение для уравнения F(x)=0. К этому решению можно построить последовательные приближения, начав с произвольного x₁. Затем находим x₂=f(x₁), x₃=f(x₂) и т.д.: (x_n)->x₀

_2. Рассмотрим док-во теоремы о существовании неявной ф-ции. Пусть дан f(чбн) определена для и , непрерывна по x и имеет производную удовлетворяющую неравентсву: . Тогда уравнение f(x,y)=0 имеет единственное непрерывное решение y=y₀(x) на [a,b]. Рассмотрим в простр. C_[a,b] оператор . Его неподв. точка y₀(Ay₀=y₀), очевидно, будет решением уравнения f(x,y)=0. Поэтому достаточно убедиться, что применима теорема Банаха. Пусть y₁(x), y₂(x)C_[a,b]. Тогда ; . Здесь применена теорема Лагранжа; и . Таким образом, A – сжимающий оператор. И по теореме Банаха существ. единств. неподвижная точка y=y₀(x). Это неявная ф-ция, заданная равенством f(x,y)=0. Замечание. Таким же методом можно доказать теорему в случае, когда аналогичные условия для f(x,y) выполнены в некоторой окрестности т. (x₀,y₀), где f(x₀,y₀)=0. Тогда класс функций y=y(x) подчиняется дополнительному условию: y₀=y(x₀)

28.Линейные нормированные и гильбертовы пространства. Пространство функций, суммируемых по Лебегу.

Опр.: непустое множество L наз. линейным, если оно удовлетворяет след. требованиям: А. для любых двух элементов х, у L однозначно определяется элемент zL называемый его суммой, причем: 1.х+у=у+х(коммут) 2. х+(у+z)=(х+у)+z(ассоц) 3.сущ.такой Эл-т 0, что х+0=х для всех хL(сущ-е нуля) 4.для числа α и опред.эл-т (-х), что х+(-х)=0(сущ.против).В. длячисла α и определ.эл-т (произвед.эл-т на число), причем:

1.

2.1*х=х

3. 4.

Опр.: функционал (обознач.) в лин. простр. L наз. Нормой, а пространство L-нормированное, если для люб. х, у L и числа α: а),причем только при х=0; б) ; в).

Опр.: пространство наз. линейно-нормированным, если оно явл. линейным и в нем определена норма.

Координатное пространство Гильберта L2 определяется как множество чмсловых последовательностей х(х1,х2,…), для которых ряд сходиться; метрика определяется так же как и в евклидовом пространстве: если х(х1,х2,…) и y(y1,y2,…) суть точки гильбертова пространства, то .

Опр.: назовем ф-ю срезкой которая опред. след. обр.:

Если этот предел существует,то его называют интегралом Лебега от неограниченной, неотрицательной функции. Опр.: если , где f(x) – неогр., неотр., ф-я, существует, то ф-я f(x) называется суммируемой ф-ей. Множество всех суммируемых на отрезке АВ ф-й, образует пространство L₁, оно является метрическим. Если ввести расстояние между ф-ями f₁(x) и f₂(x):

.

Опр.: 2 ф-ии называются совпадающими, если они отличаются др от др, на множестве меры 0. можно обощить определение . Возникает пространство L_p – метрическое пространство, р>=1. Это пространство ф-ии, для которых - суммируем по Лебегу. Особый интерес представляет пространство для которого р=2, т.е. L₂ – пространство ф-й, суммируемых с квадратом. (L₂). Заметим что L2 является подмножеством L1 ( т.к. ). заметим что L_p, где р>=1 является полным (т.е. всякая фундаментальная последовательность сходится).