9. Операции над открытыми и замкнутыми множествами.

Т.: Сумма любого числа открытых множ., есть множ. открытое.

Док. Пусть и каждое открыто. Тогда из совпадения множеств и следует совпадение множеств или . , откуда .

Каждое множество как дополнение к открытому множеству замкнуто, и произведение замкнутых множеств замкнуто. Отсюда замкнуто, а как дополнение к замкнутому множеству открыто.

Т.: Пересечение конечного числа открытых множ., есть множ. открытое.

Док. Пусть - открытые множества, - их пересечение. Тогда из совпадения множеств следует: , или .

Сумма конечного числа замкнутых множеств замкнута; следовательно, замкнуто, а открыто. Случай, когдапусто, не рассматривается, так как тогда теорема, очевидно, верна.

На бесконечное число открытых множеств теорема не распространяется.

Пример (контр пример).

- замкнутое,

Следовательно если взять пересечение любого числа открытого множ., то итоговое множ-во может не оказаться открытым.

Т.: Сумма конечного числа замкнутых множ. есть множ. замкнутое.

Док. Пусть множ. - данные замкнутые множ., и пусть . Докажем замкнутость множ.. Всякая предельная точка множ. является предельной хотя бы для одного из множ. .

Так как есть предельная точка хотя бы для одного из множ , то, значит, благодаря замкнутости каждого из них она принадлежит тому множ, для которого она предельна, т.е. принадлежит и их сумме . Итак, всякая предельная точка множ принадлежит ему, и, следовательно, замкнуто.

Т.: Пересечение любого числа замкнутых множ. есть множ. замкнутое.

Док. Пусть дано какое угодно множ замкнутых множ , отличающихся друг от друга значком . Обозначим их пересечение через . Докажем, что множ замкнуто. Пусть - предельная точка множ . Тогда в любой окрестности имеются точки, принадлежащие любому множ . Следовательно, - предельная точка для любого . Так как суть множества замкнутые, то как предельная точка каждого из них, т.е. принадлежит их пересечению

10. Структура открытых, замкнутых и совершенных множ. На прямой.

Определим структуру замкнутого множества.

Т.: Всякое непустое ограниченное множество на прямой представляет собой отрезок, либо получается из некоторого отрезка путем удаления из него конечного или счетного множества попарно - пересекающихся интервалов концы которых не принадлежат множ. .

Док. Т.к. множ. огранич, то его можно включить в какой-то наименьщий отрезок , тогда если непусто, следовательно - замкнутое т.к. состоит из отрезков, т.е. утверждение теоремы верно.

Может быть случай, что не пусто, тогда , множество - открытое множ., а стр-ра открытого множ. это сумма конечного или счетного множ. интервалов описанных формулировки теоремы. Что и следовало доказать.

Замечание. В замкнутое множ. могут входить изолированные точки. Они получаются как общие концы 2-х интервалов из . Если множ. - совершенное, то в нем не может быть изолированных точек и его стр-ра может быть описана так же как стр-ра замкн-го множ. но с условием: Указанные в теореме нтервалы не имеют общих концов.