4.2.3. Шкала измерений нечисловых показателей

Для многих показателей, оценивая степень их проявления у различных объектов, можно получить сведения только сравнительного характера: Q_aQ_b, отражающие тот факт, что показатель Q у объекта a выражен «сильнее», чем у объекта b (или: объект a «более предпочтителен» или «лучше» по показателю Q, чем объект b), при этом какая-либо числовая мера степени проявления показателя Q отсутствует. Этот факт имеет место, например, для таких показателей, как «сорт продукции» (высший, первый и т.д.), для оценок, применяемых в некоторых видах спорта (фигурное катание, спортивная и художественная гимнастика, прыжки в воду, синхронное плавание и т. п.). Чаще всего такие показатели наблюдаются в социологии, экономике, психологии, а также при принятии управленческих решений, когда приходится сравнивать сложные объекты, характеризуемые целым комплексом отдельных показателей.

Отсутствие числовой меры для степени проявления показателя Q означает, что никакие арифметические операции для значений q(a), которые оценивают Q_a, не определены. Это указывает на то, что значения q(a) по своей сути не являются числами, хотя числа, очевидно, могут использоваться для их обозначения как цифровое имя. Между результатами (числовыми или нечисловыми) измерения таких показателей могут быть установлены соотношения одного единственного типа, а именно их упорядочение согласно условию

Q_a Q_b => q(a) > q(b). (14)

При этом важно, что если объект a более предпочтителен, чем объект b, то любые числовые значения q(a) и q(b) могут быть использованы в качестве «результата измерения», соответственно, Q_a и Q_b, если только выполнено условие (14). Так, например, традиционные степени проявления показателя «успеваемость учащихся»: «неудовлетворительно», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично» в российской системе образования традиционно принято сопоставлять числовые значения, соответственно 2, 3, 4, 5 (правда, в некоторых странах минимальная оценка является лучшей). Однако очевидно, что свойство (14) будет также выполнено, если вместо этих чисел использовать, например, числа 1, 5, 10, 20, или: 0, 1, 10, 100, или любой другой, так же упорядоченный набор четырех чисел. В самом деле, никакой иных сведений, кроме тех, что, например, получивший «отлично» подготовлен лучше, чем получивший «удовлетворительно», эти значения в себе не несут. Вместе с тем, поскольку отношение порядка обладает свойством транзитивности

Q_a Q_b Q_c => q(a) > q(b) > q(c),

то получивший «хорошо» подготовлен лучше, чем получивший «удовлетворительно», но хуже, чем получивший «отлично». Однако нет смысла утверждать, что, например, получивший оценку «хорошо» знает ровно в 2 раза больше, чем двоечник, или что двоечник и троечник знают в сумме столько же, сколько отличник.

Таким образом, мы можем без потери информации заменять один набор значений q(a) другим с помощью любого преобразования φ(q), сохраняющего порядок. Это оправдывает название шкал данного типа: порядковые шкалы или ординальные шкалы. Соответственно, и сами показатели рассматриваемого типа также принято называть «порядковыми» или «ординальными».

Из сказанного выше следует, что множество допустимых преобразований Ф_п для шкал порядка представляет собой множество всех монотонно возрастающих функций:

Ф_п = { φ(q): q(a) > q(b) ↔ φ(q(a)) > φ(q(b))}. (15)

Еще раз подчеркнем существенное отличие шкал порядка от рассмотренных ранее шкал: сами по себе возможные значения q(a), с помощью которых оцениваются эмпирически наблюдаемые степени проявления данного показателя, уже не обязательно должны являться числами. Типичным примером возможных результатов измерения в шкале порядка может служить следующее множество значений, которые встречаются в задачах выявления потребительских предпочтений, в социологических исследованиях и т.п.

«очень плохо»,

«плохо»,

«скорее плохо, чем хорошо»,

«безразлично», (16)

«скорее хорошо, чем плохо»,

«хорошо»,

«очень хорошо».

Пункты шкалы порядка принято называть градациями.

В свою очередь, числа, которые могут быть сопоставлены возможным степеням проявления ординального показателя, - суть не более, чем метки, или коды, которые удобны для сбора и хранения данных. Эти числа должны удовлетворять лишь условию (14) и могут быть без ущерба заменены другими числами с помощью преобразований из множества (15).

Следует подчеркнуть, что любая жесткая фиксация указанных числовых меток означает искусственное внесение в данные дополнительной информации, которая изначально в них не содержалась. Это хорошо видно из приведенного выше обсуждения примера с числами, кодирующими различные уровни качества успеваемости учащихся. Таким образом, фиксация числовых меток в подобных ситуациях может привести к искажению результатов последующей обработки данных.

Не менее часто, чем порядковые показатели, встречаются показатели, позволяющие лишь установить, что данные два объекта различимы с точки зрения данной характеристики, или, напротив, неразличимы. По таким характеристикам объекты могут быть рассортированы на ряд непересекающихся между собой классов, так что любые два объекта считаются неразличимыми, если они отнесены к одному и тому же классу, и различимыми, если они относятся к разным классам. Так, если множеством объектов является некий коллектив людей, в качестве примера такого рода характеристик можно привести: «пол», «профессия», «место рождения», «цвет волос» и т. п.

Важно отметить, что во всех приведенных и им аналогичных примерах рассматриваемые показатели не устанавливают никаких иных отношений между объектами, кроме как: различимы они по данной характеристике или нет.

Возможными «степенями проявления» Q_a , Q_b , … таких характеристик выступают имена соответствующих классов, к которым могут быть отнесены объекты. Процедура «измерения» тем самым сводится к идентификации имени того класса, к которому следует отнести тот или иной объект. Это имя может быть закодировано и числовым значением q(a), которое, очевидно, может быть любым, лишь бы выполнялось то условие, что различные имена классов кодируются различными числами.

Вполне очевидно, что допустимыми преобразованиями над числовыми характеристиками (метками) q(a) в данном случае будут являться любые взаимно-однозначные функции φ(q):

Ф_н = { φ(q): q(a) ≠ q(b) ↔ φ(q(a)) ≠ φ(q(b))}. (17)

Характеристики данного типа называют «номинальными» (поскольку с их помощью для объектов определяются имена соответствующих классов) или «классификационными» (т.к. множество объектов разбивают на классы, содержащие объекты с одинаковыми именами). Шкалу, которая соответствует номинальной характеристике, также принято называть номинальной шкалой (шкалой наименований, номинативной шкалой).

Следует упомянуть частный случай номинальной шкалы, имеющий только два пункта: «да» и «нет». Этот частный случай номинальной шкалы даже получил специальное название «Дихотомическая шкала». Так, например, при обработке анкетных данных по показателю «пол» классы «мужчина» и «женщина» могут кодироваться, соответственно, числовыми метками 0 и 1.

Множество Ф_н допустимых преобразований номинальной шкалы является максимально широким среди рассмотренных выше типов шкал. В самом деле, чем меньше отношений и операций определено для результатов измерений по данной шкале, тем шире ее множество допустимых преобразований. Так для номинальной шкалы бессмысленно складывать или делить числовые метки, используемые для кодирования имен соответствующих классов. Все, что имеет смысл с ними делать, это только сравнивать: одинаковы ли они у данных двух объектов или нет. Этим и объясняется максимальная широта множества Ф_н.

Основное и, пожалуй, единственное назначение шкалы наименований - это различать объекты. Например, фамилии людей, номера телефонов, название улиц и т.п. Это очень бедная шкала, но к ней можно прибегнуть при оценке любых факторов!

Вместе с тем и нормативные шкалы могут разделяться на подтипы, например, на категорированные и некатегорированные. Номинальная шкала называется категорированной, если множество всех возможных категорий задано эксперту заранее. Например, в вопросе заранее указаны все возможные варианты, и тот, который выбирает эксперт, ему предлагается подчеркнуть (пол: «муж.», «жен.»). В случае некатегорированной шкалы эксперт самостоятельно должен назвать имя категории, например: впишите рекомендуемую профессию.

В рамках номинальных шкал могут встретиться так называемые шкалы толерантности. Формально это означает, что при измерении во внимание берется не отношение эквивалентности, а отношение толерантности (похожести). Такая ситуация встречается в тех случаях, когда разрешающая способность эксперта оказывается ниже, чем различия, фактически наличествующие у измеряемых объектах. Так при оценке характеристики «цвет» эксперт использует только базовые (красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый), в то время как налицо и такие значения, как светло-синий и темно-синий, бордовый, бирюзовый и т.д.