- •Часть 1. Методологические аспекты моделирования
- •Часть 3. О методике построения математических моделей
- •Часть 4. Экспертиза в системном анализе
- •Объект и предмет исследования
- •Часть 1. Методологические аспекты моделирования
- •Понятие моделирования
- •1.2. Обобщенный процесс моделирования
- •1.3. Математические модели
- •Часть 2. Элементы теории систем
- •2.1. Система и ее компоненты
- •2.2. Строение системы
- •2.2.1. Связи в системе
- •2.2.2. Структура системы
- •2.2.3. Пространственные и временные связи
- •2.2.4. Описание системы
- •2.3. Классификация систем
- •2.3.1. Понятие классификации
- •2.3.2. Основные методы классификации
- •Иерархическая схема классификации.
- •Классификация систем по степени структурированности.
- •2.4. Системные принципы
- •2.4. Основы системного анализа
- •2.4.1. Понятие системного анализа
- •2.4.2. Этап постановки проблемы
- •2.4.3. Содержание системного анализа
- •Часть 3. О методике построения математических моделей
- •3.1. Анализ задачи
- •3.2. Этап формирования математической модели
- •3.3. Классификация математических моделей
- •3.4. Модель черного ящика
- •3.5.Теоретико-множественная модель
- •3.6. Типовые математические схемы
- •Непрерывно-детерминированные модели (d - схемы).
- •3.7. Пример построения динамической модели
- •3.8. Метод статистических испытаний (метод Монте – Карло)
- •3.9. Имитационное моделирование
- •3.10.1. Понятие нечеткого множества
- •3.10. Операции над нечеткими множествами.
- •3.10.3. Нечеткие отношения
- •3.10.4. Нечеткие и лингвистические переменные.
- •3.10.5. О построении функций принадлежности
- •3.10.6. Элементы нечетких алгоритмов
- •Стандартные графики функции принадлежности
- •Часть 4. Экспертиза в системном анализе
- •4.1. Методы проведения экспертизы в системном анализе
- •4.1.1. Основные задачи экспертизы в системном анализе
- •4.1.2. Методы коллективной генерации идей
- •4.1.3. Структуризация систем
- •4.1.4. Морфологические методы
- •4.2. Измерение
- •4.2.1. Понятие измерения
- •4.2.2. Шкалы измерений числовых показателей.
- •4.2.3. Шкала измерений нечисловых показателей
- •4.2.4. Сравнительный анализ шкал
- •4.3. Обработка экспертных измерений
- •2.4.1. Ранжировка и оценка в баллах
- •2.4.2. Исследование зависимости показателей качества, измеряемых в нечисловых шкалах
- •4.4.3. Оценка степени согласованности порядковых показателей
- •4.4.4. Проверка степени несогласованности и безразличия экспертов
- •Заключение
- •Библиография
- •Живицкая е.Н., о.П. Едемская. Системный анализ и проектирование информационных систем: Учебно-метод. Пособие. / Мн.: бгуир, 2005.
3.8. Метод статистических испытаний (метод Монте – Карло)
К сожалению, построение аналитической модели по одной из рассмотренных выше схем удается далеко не всегда. Такая ситуация встречается при рассмотрении весьма сложных объектов или при рассмотрении новых систем, сведений о которых недостаточно для построения аналитической модели. В подобных случаях на помощь приходят так называемые численные методы. Численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин называется методом статистических испытаний или методом Монте-Карло. В основе метода лежит следующий факт: если имеется механизм генерирования (розыгрыша) значений равновероятно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины, то легко получить случайные значения другой случайной величины, распределенной по любому заданному закону.
Генерирование значений равновероятно распределенной случайной величины обычно осуществляется с помощью так называемых псевдослучайных чисел. Сегодня практически в каждом алгоритмическом языке или пакете прикладных программ имеется стандартная процедура генерирования случайных чисел. В программе достаточно написать : и будет присвоено одно из значений псевдослучайного числа. Рассмотрим механизм метода статистических испытаний.
Генерация значений непрерывной случайной величины.
Поставим задачу получить значения случайной величины , распределенной в отрезке с заданной плотностью .
При заданном законе распределения вероятность попадания случайной величины в находится по известно формуле
(8)
Это выражение можно рассматривать в качестве уравнения относительно неизвестной . Покажем, что величина , являющаяся корнем уравнения (8), имеет плотность вероятности .
Функция распределения случайной величины X
монотонно возрастает от 0 до 1. Следовательно, прямая (см. рис.3.5) пересекает график в одной единственной точке, абсциссу которой принимаем за . Тем самым доказано, что уравнение (8) имеет единственное решение.
В
Рис.
3.5. Розыгрыш непрерывной случайной
величины.
(9)
Предположим, что случайная величина на интервале (0,1) распределена равномерно. В этом случае вероятность
(10)
Сравнивая это выражение с (1.3), получим
. (11)
Соотношение (11) показывает, что величина имеет плотность вероятности . Этот факт является основанием для построения следующей схемы получения случайного значения непрерывной случайной величины , имеющей заданный закон распределения :
1. Генерируется - значение случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0,1);
2. Записывается уравнение
= ; (12)
3. Решается уравнение (12) относительно искомой величины .
Пример 1. Розыгрыш равномерного распределения. Пусть задано распределение
для всех .
Составляем уравнение
Отсюда легко получить искомый результат
.
Пример 2. Для случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону для , окончательная формула имеет следующий вид
(13)
Таким образом, чтобы разыграть случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону, необходимо разыграть значение равновероятно распределенной на отрезке [0,1] величины , а затем подставить ее в формулу (13).
Для более сложных распределений не удается аналитически решить уравнение типа (12). Поэтому используют таблицы функций распределений. Так же разыгрывают равномерно распределенную величину , а затем по таблице ищут величину , удовлетворяющую условию: .
Генерация значений дискретной случайной величины.
Пусть заданы значения вероятностей для некоторой дискретной случайной величины . Ставится задача случайным образом выбрать одно из возможных значений , учитывая ее распределение.
Идея решения данной задачи основана на попадании случайной точки на один из интервалов, каждый из которых пропорционален величине соответствующей вероятности .
Вначале, как всегда в методе Монте-Карло, генерируется - значение равновероятно распределенной в интервале (0,1) случайной величины. Затем находится искомая величина по правилу:
(14)
Логика этого правила заключается в следующем. Случайная точка попадает в один из возможных интервалов (см. рис.3.6.). Приведенное правило позволяет последовательно просматривать отношения нарастающей суммы вероятностей к их общей сумме. Считается выбранным то значение , для которого впервые выполнится условие в (14).
Замечание. В целом ряде задач практики встает вопрос о случайном выборе одной из заданного множества альтернатив, каждый из которых имеет определенный вес. Его решить можно по аналогии с описанным выше методом, положив в (14) вместо вероятности нормированную величину соответствующего веса (метод рондомизированного розыгрыша).
Р
Рис.
3.6. Розыгрыш дискретной случайной величины.
Решение. В соответствии с (14) имеем:
k=1 - "13/34 = 0.382 > 0.73?" - нет;
k=2 - "20/34 = 0.588 > 0.73?" - нет;
k=3 - "31/34 = 0.912 > 0.73?" - да!
Таким образом, выбрана третья альтернатива. Если бы выпало = 0,59, то был бы выбран тот же вариант, а вот если = 0,27, то первый и т.д.
Рассмотрим пример применения метода статистических испытаний. Пусть в данный прямоугольник вписана некоторая сложная фигура (см. рис.3.7.). Требуется определить площадь вписанной фигуры.
Решение этой задачи при помощи метода статистических испытаний может происходить по следующей схеме. Реализуется механизм попадания в прямоугольник: разыгрываются случайные значения двух равновероятно распределенных случайных чисел из интервала и , которые выступают координатами случайной точки. Всего разыгрываются точек. Из них попадает во вписанную фигуру, а - вне ее . За площадь фигуры принимается отношение числа точек попавших в фигуру к общему числу разыгранных точек: .
Сколько розыгрышей (точек ) необходимо произвести, чтобы обеспечить заданную точность ? Обычно поступают следующим образом. Производится серия из достаточно представительного числа точек ( штук), в результате чего получается результат . Затем серия повторяется и если
,
т
Рис.
3.7. Определение площади методом
статистических испытаний.
Формальную оценку числа розыгрышей можно получить на основании следующих рассуждений. Пусть требуется вычислить неизвестную величину . Предположим, что имеется такая случайная величина , что и . Сгенерируем значений случайной величины . Согласно центральной предельной теореме, распределение суммы приближается к нормальному закону с параметрами: математическим ожиданием и дисперсией . Применяя правило "трех сигм", получаем приближенное равенство
или в более компактной форме
(15)
Данное соотношение говорит о том, что среднее значение сгенерированной случайной величины с очень высокой вероятностью равно . При этом ошибка не превосходит величины , стремящейся к нулю при возрастании . Важно подчеркнуть, что (15) позволяет оценить число розыгрышей , которое обеспечивает получение такой точности.