4.2.2. Шкалы измерений числовых показателей.

Рассмотрение типов шкал начнем с так называемой абсолютной шкалы, (шкалы натуральных чисел). Эту шкалу образует множество действительных чисел и отношение тождества. Все остальные преобразования запрещены. В этой связи для абсолютной шкалы имеем

Ф_а = { φ(q) = q}.

Данные, полученные с помощью абсолютной шкалы, не преобразуются (каждое число тождественно только самому себе), т.е. шкала тождественна сама себе, поэтому она и получила такое название. Строго говоря, только для абсолютной шкалы результаты измерений могут выражаться натуральными числами. Поэтому абсолютные шкалы применяются для измерения количества объектов, когда нет никакого сомнения в наличии неясностей относительно измеряемой оценки. Наиболее характерным примером применения абсолютной шкалы может явиться оценка количества людей в данном помещении (их количество всегда сожжет быть выражено натуральным числом). В этой шкале может быть измерено и число решенных в ходе выполнения контрольной работы задач, количество вагонов в составе поезда или деталей при сборке компьютера и т.п.

Если оценка характеристики измерена в абсолютной шкале, то это свидетельствует о том, что относительно этой операции эксперт обладает исчерпывающей информацией. В этой связи абсолютная шкала является наиболее сильной шкалой. Из дальнейшего изложения станет понятным, что абсолютная шкала – это частный случай шкалы интервалов.

Перейдем к рассмотрению шкалы, которая чаще всего используется для измерения физических характеристик. При традиционном понимании термина «измерение» предполагается, что физическая величина Q может в различной степени проявляться и быть зафиксированной для различных объектов, которые этой величиной характеризуются. Предполагается также, что выделено некоторое фиксированное значение [Q] степени проявления данной величины, которое называют «единица меры» величины Q. Тогда задача измерения величины Q при помощи единицы меры [Q] заключается в нахождении числового множителя q в равенстве Q = q [Q], при этом Q и [Q] считаются положительными скалярными величинами одного и того же рода, а множитель q - положительное действительное число.

Пусть a – объект, обладающий некоей степенью проявления физической величины Q. Эту степень будем обозначать Q_a . Например, пусть a – данный металлический стержень, тогда Q_a – длина этого стержня. Измерить длину стержня a с помощью единицы измерения [Q] – значит определить такое значение q(a) множителя q, что

Q_a = q(a) [Q]. (1)

В общем виде традиционное измерение можно рассматривать как процедуру, которая степени проявления Q_a величины Q у объекта a сопоставляет числовое значение (действительное число) q(a):

Q_a → q(a). (2)

Иначе говоря, число q(a) показывает, сколько единиц Q содержит в себе Q_a.

Множество всевозможных значений таких чисел q(a) составляет шкалу измерения физической величины Q с заданной единицей измерения [Q]. Заметим, что Q_a – физическая величина (длина данного стержня), то есть именованное число, обладающее той же размерностью, что и сама величина Q (стрежень), в то время как q(a) – безразмерное числовое значение.

Результаты измерения физической величины должны удовлетворять следующему достаточно очевидному требованию: а именно, реально существующим соотношениям между различными степенями проявления величины Q должны отвечать соответствующие отношения между результатами измерения. Так, если стержень a имеет длину, бóльшую чем длина стержня b, то и между результатами измерения этих длин должно выполняться аналогичное отношение:

Q_a Q_b => q(a) > q(b). (3)

Примечание. Важно различать используемые в соотношении (3) знаки: знак обозначает большую степень проявления реальной характеристики (в данном случае длины), тогда как знак > выражает обычное числовое неравенство в значении «больше».

Аналогичным образом при суммировании длин стержней a и b (в реальности это может быть достигнуто, если, например, один стержень приставить к другому) общая длина при измерении должна дать результат, равный сумме результатов измерения длин q(a) и q(b):

Q_a  Q_b → q(a) + q(b). (4)

В (4) знак  - операция над физическими объектами, тогда как знак + означает обычное суммирование действительных чисел.

Покажем, что какова бы ни была выбрана единица измерения [Q] показателя «длина» отношение результатов измерения длин двух стержней остается неизменным. В самом деле, пусть длины стержней a и b были измерены вначале с использованием единицы измерения [Q⁽¹⁾]:

Q_a = q₁(a) [Q⁽¹⁾], Q_b = q₁(b) [Q⁽¹⁾],

а затем с использованием единицы измерения [Q⁽²⁾]:

Q_a = q₂(a) [Q⁽²⁾], Q_b = q₂(b) [Q⁽²⁾].

Пусть измерение единичной (для первой шкалы) длины [Q⁽¹⁾] по шкале с единицей измерения [Q⁽²⁾] дает результат

[Q⁽¹⁾] = q₀ [Q⁽²⁾]. (5)

Тогда, как легко видеть, в силу (2.5) q₂(a) = q₀ q₁(a); q₂(b) = q₀ q₁(b), и таким образом

q₁(a) / q₁(b) = q₂(a) / q₂(b) , (6)

что и требовалось доказать.

Последнее соотношение выражает тот факт, что свойство стержня a «быть во столько-то раз длиннее» стержня b не зависит от той конкретной шкалы, по которой измерялись их длины.

Итак, какова бы ни была шкала измерения характеристики «длина», отношение результатов измерения двух данных объектов (в смысле числовой дроби) остается постоянным. Этим объясняется то, что шкалы, обладающие этим свойством, называют шкалами отношений. Примеры измерений в этой шкале: деньги, меры длины, объема, веса и т.п.

Мы установили, что для этих шкал преобразование результатов измерения q(a) с помощью функций вида

φ(q) = kq, (7)

где k – произвольно выбранное положительное число, сохраняет свойство (6). Так же как показатель «длина», в шкалах отношений измеряются такие показатели, как «масса» (в граммах, килограммах, тоннах и т. д.), «длительность промежутка времени» (в секундах, часах, годах и т. д.), «стоимость» (в рублях, копейках, долларах и т. д.). Для различных степеней проявления этих величин также несложно определить операцию суммирования , которая будет связана с результатом измерения q(a) соотношением (4).

Общим характерным свойством для показателей, измеряемых в шкалах отношений, является то, что они обладают естественной «нулевой» степенью проявления, когда результат измерения q(a) равен нулю. В относительной шкале (ratio scale) присутствуют все атрибуты измерительных шкал: упорядоченность, интервальность, нулевая точка.

Из (6) и (7) видно, что для этих показателей имеет смысл утверждение о том, что степень проявления величины Q у одного объекта во сколько-то раз больше, чем у другого. Как будет показано далее, для шкал других типов такого рода утверждения не являются осмысленными, поскольку их истинность или ложность может зависеть от выбранного конкретного преобразования результатов измерения.

Для показателей, измеряемых в шкалах отношений, любые другие преобразования результатов измерения, отличные от (7), приводят к нарушению свойства (6). Например, пусть преобразование результатов измерения q(a) производится с помощью функций вида

φ(q) = kq + l , (8)

где k и l – любые действительные числа. Чтобы выполнялось условие (6), должно быть

φ( q(a)) / φ (q(b)) = q(a) / q(b) .

Однако равенство

kq(a) + l / kq(b) + l = q(a) / q(b)

будет справедливо для любых q(a) и q(b) только в случае, если l = 0, то есть для преобразований вида (7).

Для величин, измеряемых по шкале отношений преобразования вида φ(q) = kq, играют особую роль: только они сохраняют важное характерное отношение между различными степенями проявления данной величины, а именно «быть во столько-то раз больше».

По сложившейся терминологии говорят, что преобразования вида (7) образуют множество допустимых преобразований для шкалы отношений.

Таким образом, для шкалы отношений имеем

Ф_о = { φ(q) = kq;  k > 0 }. (9)

В некотором роде эквивалентной шкале отношений является шкала разностей. В отличие от шкалы отношений, она не имеет естественного нуля, но имеет естественную масштабную единицу измерения. Классическим примером этой шкалы является историческая хронология. Некоторые исследователи, например, полагают, что Иисус Христос родился за четыре года до общепринятого начала нашего христианского летосчисления (… от рождества Христова). Сдвиг на четыре года назад ничего не изменит в хронологии. Можно использовать мусульманское летосчисление или же считать годы от сотворения мира. Кому как нравится. В этом она сходна со шкалой интервалов. Разница лишь в том, что значения этой шкалы нельзя умножать (делить) на константу. Поэтому считается, что шкала разностей — единственная с точностью до сдвига.

Следовательно, для шкалы разностей имеем

Ф_р = { φ(q) = q+l; lR }.

Поскольку в повседневной деятельности мы чаще всего встречаемся с характеристиками, измеренными в шкале отношений, то может сложиться впечатление, что характеристические свойства, выраженные условиями (6) и (7), присущи всем величинам, непосредственно измеряемым в числовой форме. Однако это далеко не так.

Рассмотрим, например, показатель Q - «температура», измеряемая в градусах Цельсия. Казалось бы, свойства шкалы измерения этого показателя те же, что и для рассмотренного ранее показателя «длина»: имеется единица измерения ([Q] = 1^о); кроме того, с помощью измерения можно получить ответ на вопрос о том, на сколько единиц температуры одно тело теплее, чем другое (так же, как и для длины: на сколько единиц длины один объект длиннее, чем другой).

Пусть согласно определению (2) q^(С)(a), q^(С)(b), q^(С)(c), q^(С)(d) – результаты измерения температуры объектов a, b, c, d в градусах Цельсия. Покажем, что утверждение «различие между температурой объектов a и b в k раз больше, чем различие между температурой объектов c и d»

q^(С)(a) - q^(С)(b) = k ( q^(С)(c) - q^(С)(d) ) (10)

является осмысленным, то есть сохраняет свою истинность и при переходе к другой шкале измерения температуры. Например, как известно, результаты измерений в шкалах Цельсия q^(С) и Фаренгейта q^(F) связаны между собой следующим соотношением:

q^(F) = 9/5 q^(С) + 32. (11)

Следовательно,

q^(F)(a) - q^(F)(b) = ( 9/5 q^(С) (a)+ 32 ) - ( 9/5 q^(С) (b)+ 32 ) = 9/5 (q^(С)(a) - q^(С)(b)) =

= 9/5 k ( q^(С)(c) - q^(С)(d) ) = k ( 9/5 q^(С)(c) – 9/5 q^(С)(d) ) =

= k{ ( 9/5 q^(С)(c) +32) – (9/5 q^(С)(d) +32) }

и таким образом

q^(F)(a) - q^(F)(b) = k ( q^(F)(c) - q^(F)(d) ),

что и требовалось показать. Более того, легко видеть, что истинность данного утверждения сохраняется при любом линейном преобразовании шкалы измерения температуры вида (8), частным случаем которого является соотношение (11).

Таким образом, для показателя «температура» соотношения между степенями его проявления вида

Q_a - Q_b = k (Q_c - Q_d) (12)

сохраняют свою истинность, в какой бы температурной (конкретной) шкале этот показатель ни измерялся.

Что же касается самих результатов измерения, то для них вопрос о том, во сколько раз теплее (холоднее) один объект по сравнению с другим, оказывается бессмысленным, что сразу же говорит о том, что свойства шкалы измерения данного показателя отличаются от свойств шкал отношений.

Итак, для таких показателей, как температура, результаты измерения обладают характеристическим свойством, которое может быть представлено соотношением вида (10), не меняющим свою истинность при любых преобразованиях вида (8). Оно было названо интервальным преобразованием, т.к. сохраняет отношение подобия для интервалов показателей (см. 12.) В этой связи шкалы измерения таких показателей носят название шкалы интервалов. Их отличительной особенностью является то, что они (как и шкала отношений) имеют единицу измерения но, в отличие от последней, не имеют фиксированного начала отсчета.

Отсутствие фиксированного начала отсчета может быть объяснено тем обстоятельством, что величины данного типа не обладают естественно выраженной «нулевой» степенью своего проявления.

Множество допустимых преобразований Ф_и для шкал интервалов имеет вид

Ф_и = { φ(q) = kq+ l ;  k, l (k > 0) }. (13)

Помимо температуры (измеряемой по Цельсию, или по Фаренгейту, или по Реомюру¹) примером показателя, измеряемого по шкале интервалов, может служить «историческая дата» (дата выпуска единицы продукции, дата исторического события, дата рождения человека и т. п.). В самом деле, свойство (10) для исторических дат не изменится, будем ли мы измерять даты в годах от рождества Христова или в веках от сотворения мира, или в неделях от Французской революции. Примерами шкал измерения исторических дат служат юлианский, грегорианский и мусульманский календари.

Сравнивая шкалу отношений и шкалу интервалов, мы находим, что класс допустимых операций для второй из них более узкий (разности результатов измерения можно делить друг на друга, а сами результаты измерений – нет). В то же время (точнее говоря, за счет этого), множество допустимых преобразований у шкалы интервалов (13) шире, чем у шкалы отношений (9).

Абсолютная шкала, шкала отношений, шкала разности и шкала интервалов позволяют представить результаты измерения количественных показателей.

Отметим также, что в отличие от шкалы отношений шкала интервалов допускает отрицательные значения результатов измерения (в силу того, что параметр l в (13) может быть как положительным, так и отрицательным числом). Примерами могут, очевидно, служить отрицательные температуры, а также даты исторических событий «до рождества Христова (до нашей эры)».

За счет дальнейшего расширения множества допустимых преобразований Ф мы получаем возможность представления результатов измерения нечисловых (качественных) показателей.