3.10.5. О построении функций принадлежности

Одним из основных вопросов, который необходимо решить на пути практического применения теории нечетких множеств, является вопрос о формализации нечетких понятий и отношений. При этом существенное место отводится построению собственно функций принадлежности нечетких множеств. Выше отмечалось, что любая функция принадлежности носит субъективный характер, хотя может отражать мнение не одного лица, а весьма большого числа людей.

Одной из простейших и наиболее ясной по реализации является вероятностная схема, суть которой заключается в следующем. Каждому из n экспертов предлагается ответить на вопрос о принадлежности элемента x к множеству A. Если n₁ экспертов отвечает на вопрос утвердительно, а n₂ - отрицательно, то считают, что

Существует и целый ряд других более сложных методик. Однако наиболее перспективной представляется процедура построения функций принадлежности в режиме диалога с компьютером на основе использования стандартного набора графиков.

Стандартный набор графиков функций принадлежности для утверждения "величина x мала" приведена на рис.3.11 а - е. Из приведенных функций легко, например, составить функции принадлежности утверждений типа "величина x большая" (см. рис3.12.).

3.10.6. Элементы нечетких алгоритмов

Нечетким алгоритмом называют последовательность действий, выполняемых в соответствии с семантикой нечетких операторов и приводящих к нечеткому (размытому) решению задачи. Основными элементами нечетких алгоритмов являются выполнение арифметических операций над нечеткими числами и выполнение условных нечетких операторов типа "если, то - иначе".

Стандартные графики функции принадлежности

Рис. 3.11 а.

Рис.3.11 б.

Рис. 3.11 в

Рис. 3.1.г.

Рис. 2.16д.

Рис. 3.11е.

Рис. 3.12. Функция принадлежности для понятия “величина большая”.

Выполнение арифметических операций над нечеткими числами. В соответствии с принципом обобщения бинарная арифметическая операция  над нечеткими числами A и B есть нечеткое число C, которое определим следующим образом:

A  B = C = min[_A,_b],

где a  S_A, b  S_B, c = (a  b), с  S_c;

S_A, S_B, S_C - носители нечетких множеств (четкие множества);

 - одна из арифметических операций "+", "-", "." или "/".

Если результат арифметической операции над элементами носителей нечетких множеств совпадает, т.е. a_i  b_j = a_k  b_l;, то в S_c из них включается лишь один и ему предписывается значение функции принадлежности, имеющее из двух значений функций принадлежности большее значение. Например, пусть заданы нечеткие числа A и B

A = {(2 0.3), (6 0.9), (7 0.7)}

B = {3 0.3), (4 0.8), (5 0.4)}

Тогда

C_A+B = {(50.3), (60.3), (70.3), (90.4), (100.8), (110.7), (120.4)};

C_A-B = {(-30.3), (-20.3), (-10.3), (10.4), (20.8), (30.7), (40.4)};

C_AB = {(60.3), (80.3), (180.4), (210.4), (280.7), (300.4), (350.4)};

C_A/B = {(0.40.3), (0.50.3), (0.670.3), (1.20.4), (1.40.4), (1.50.8), (1.750.7),

(20.4), (2.330.4)}.

Выполнение условных нечетких операторов. Будем рассматривать условный нечеткий оператор следующего вида:

"если W, то K, иначе L",

где - W нечеткое логическое выражение, т.е. любая формула, в которую входят лингвистические и (или) нечеткие переменные и нечеткие предикаты; K, L - четкие или нечеткие операторы.

Нечетким предикатом называется функция, значениями которой являются нечеткие высказывания:

Pⁿ(X) = X  _P(X)  [0,1], X  X₁  X₂  X₃  ...  X_n,

где Pⁿ(X) - нечеткий предикат; _P(Xⁱ) - степень истинности нечеткого высказывания Pⁿ(Xⁱ), Xⁱ = X₁ⁱ, X₂ⁱ, X₃ⁱ, ..., X_nⁱ.

Pⁿ(Xⁱ) может рассматриваться как степень уверенности субъекта в том, что он назовет данное высказывание истинным.

Примеры нечетких предикатов:

P¹(x) - "числа x, близкие к нулю";

P²(x,y) - " удаленные от районного центра села";

P³(p,v,t) - "режим работы двигателя близок к оптимальному: p₀, v₀, t₀".

Результат выполнения нечеткого условного оператора можно задать выражением

R (если W, то K, иначе L) = {R(K): _W, R(L)(1- _W)},

где R(I) - результат выполнения оператора I;

_W - степень истинности выражения W.

Наиболее целесообразной представляется следующая однозначная схема выполнения операторов. Разыгрывается равномерно распределенная на интервале (0,1) случайная величина . Результат выполнения условного нечеткого оператора определяется из условия

R(если W, то K, иначе L)

Теория нечетких множеств открывает широкие перспективы для построения эффективных моделей во всех областях деятельности человека и ждет активного практического применения.

Итак, математика разработала достаточно широкий спектр методов формализации задач. Вместе с тем, остается много вопросов при попытке построения математических моделей слабоструктурированной проблемы. Сложности обусловлены обычно тем, что не хватает сведений для построения достаточно адекватных моделей. В таких случаях на помощь приходят эксперты.