2. Числовые характеристики случайных величин

Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам:

– для дискретной случайной величины;

– для непрерывной случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Обозначим , тогда формулы для вычисления дисперсии:

; .

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

, .

Пример 1.

Случайная величина – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить .

Решение.

	1	2	3	4	5	6

Имеем ;

.

.

Пример 2.

Дана функция . Показать, что может служить плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины . Найти .

Решение.

Имеем .

Следовательно, может служить плотностью распределения некоторой случайной величины.

.

3. Некоторые законы распределения случайных величин Равномерное распределение

Равномерным называется распределение таких случайных величин, все значения которых лежат на и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке.

.

Функция распределения этого закона распределения имеет вид:

;

.

Пример 1.

Случайная величина – отклонение емкости конденсатора от номинала распределено на отрезке . Найти , , , , . Построить график .

Решение.

В задаче , поэтому

Построим график f(x).

Функция распределения вероятности случайной величины:

Ее график имеет вид:

, ;

.

Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона

Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна , то, как известно, вероятность того, что при испытаниях событие осуществляется раз, определяется формулой Бернулли:

.

Закон распределения случайной величины , которая может принимать значение , описывается формулой Бернулли, называется биномиальным.

Закон распределения случайной величины , которая может принимать любые целые неотрицательные значения , описываемый формулой , носит название Пуассона.

Для биномиального закона ; .

Для закона Пуассона: .

Пример 1.

Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие появляется с вероятностью 0,4. рассматривается случайная величина – число появлений события в трех испытаниях. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины . Найти , , .

Решение.

Ряд распределения:

	0	1	2	3
	0,216	0,432	0,288	0,064

;

.

Пример 2.

Радиоаппаратура состоит из 100 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равно 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и менее двух электроэлементов за год?

Решение.

Считая случайное число отказавших элементов подчиняющихся закону Пуассона

, где , получим:

1. вероятность отказа ровно двух элементов

;

2. вероятность отказа не менее двух элементов

; т.е.

.