Задача 6

При решении задач 1 – 13 нужно использовать неравенство Чебышева.

1. Среднее значение массы некоторых изделий равно 50 г. Оценить вероятность того, что наудачу взятое изделие имеет массу меньше 90 г.

■

2. Среднее значение скорости ветра у земли в дан­ной местности равно 20 м/с. Оценить вероятность того, что при одном наблюдении в данной местности скорость ветра окажется менее 80 м/с. ■ .

3. Число солнечных дней в году для данной местности является случайной величиной с математическим ожиданием, равным 75 дням. Оценить вероятность того, что в следующем году в данной местности окажется меньше 150 солнечных дней. ■ .

4. Средняя температура отопительного сезона равна 20 °С, а ее среднее квадратическое отклонение равно 2 °С. Оценить вероятность того, что температура в квартире отклонится от средней по абсолютной величине менее чем на 4 °С. ■ .

5. Вероятность рождения девочки равна приблизительно 0,485. Оценить вероятность того, что число девочек среди 3000 новорожденных будет отличаться от математического ожидания этого числа по абсолютной величине менее чем на 55. ■ .

6. Случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию . Оценить вероятность события .

■ .

7. Вероятность некоторого события в каждом из независимых испытаний равна . Оценить вероятность того, что частота этого события отклонится от его вероятности по абсолютной величине менее чем на 0,01, если произведено:

а) 9000 испытаний; ■ .

б) 75000 испытаний. ■ .

8. Длина изготовляемых изделий – случайная величина; ее математическое ожидание равно 90 см, дисперсия – 0,0225 см². Оценить вероятность того, что:

а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 см. ■ .

б) Длина изделия будет заключена между 89,7 см и 90,3 см.

■ .

9. Дисперсия каждой из 1000 попарно независимых величин не превосходит 4. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий по модулю окажется меньше чем 0,2. ■ .

10. Для определения средней урожайности пшеницы на поле в 10000 га случайным образом было отобрано по 1 кв. метру с каждого гектара и определена урожайность на каждом из них.

Оценить вероятность того, что найденная по этим данным выборочная средняя урожайность будет отличаться от средней урожайности на всем поле по абсолютной величине не более чем на 0,1 ц. Установлено, что среднее квадратическое отклонение урожайности для каждого гектара поля не превышает 3 ц. Как изменился бы результат решения, если бы среднее квадратическое отклонение урожайности не превышало 0,2 ц, т. е. было бы меньше?

■ .

11. Выборочным путем требуется определить средний рост мужчин двадцатилетнего возраста. У скольких мужчин, отобранных случайным образом, нужно измерить рост, чтобы с вероятностью, превышающей 0,95, можно было утверждать, что средний рост у отобранной группы будет отличаться от среднего роста всех двадцатилетних мужчин по абсолютной величине не более чем на 1 см? Считается известным, что дисперсия роста в каждом случае не превышает 25. ■ .

12. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации, равно пяти. Оценить вероятность того, что по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт менее десяти автобусов, если:

а) отсутствует информация о дисперсии; ■ .

б) известно, что дисперсия равна 4; ■ .

в) предполагается, что число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации, подчиняется распределению Пуассона с параметром . ■ .

13. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет по модулю:

а) не более двух средних квадратических отклонений; ■ .

б) не более трех средних квадратических отклонений; ■ .

в) не более четырех средних квадратических отклонений; ■ .

14. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных гербом вверх, будет от 45 до 55?

■ 0,6826.

15. Сколько опытов с бросанием монет нужно произвести, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать отклонение частоты выпадений герба от теоретической вероятности 0,5 по абсолютной величине, меньше чем 0,01? ■ .

16. На лекции по теории вероятностей присутствует 110 студентов курса. Найти вероятность того, что

а) k студентов (k = 0,1,2) из присутствующих родились первого сентября; ■ .

б) хотя бы один студент курса родился первого сентября.

■

17. Опыт состоит в бросании игральной кости 600 раз. Найти вероятность того, что частота выпадения шестерки отклонится по модулю от вероятности выпадения шестерки в одном бросании менее чем на:

а) 0,01; б) 0,02. ■ а) 0,491; б) 0,810.

18. Статистическая вероятность рождения мальчика равна 0,515. Определить вероятность того, что среди 400 новорожденных доля мальчиков будет отличаться от вероятности рождения мальчика не более чем на:

а) 0,005; б) 0,01; в) 0,04. ■ а) 0,1585; б) 0,3108; в) 0,8904.

19. Вероятность появления «успеха» в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное , что с вероятностью 0,9876 абсолютная величина отклонения частоты появления «успеха» от его вероятности не превысит . ■ 0,05

20) Вероятность получения положительного результата в каждом из независимых опытов равна 0,9. Сколько опытов нужно произвести, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положитеный результат? ■ .