Задача 4

В примерах функция плотности вероятности задана графически.

Требуется:

1. Написать аналитическое выражение для .

2. Найти функцию распределения и построить ее график.

3. Найти .

4. Найти вероятности событий:

1 )

■

2)

■

3 )

■

4)

■

5)

x

■

6)

■

7)

■

8)

■

f(x)

9)

■

10)

■

11)

■

12)

x

■

13)

■

14)

x

■

15)

■

16) Точку бросают наудачу внутрь круга радиуса . Вероятность попадания в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найти и для случайной величины – расстояния точки до центра круга; построить графики этих функций. Определить .

■

.

17) Обработка результатов одной переписи показала, что плотность вероятности возраста лиц, занимающихся научной работой, может быть представлена формулой: , – время в годах, . Определить, во сколько раз число научных работников в возрасте ниже среднего больше числа научных работников в возрасте выше среднего. ■ 1,247

18) На окружности радиуса с центром в начале координат наудачу выбирается точка. Вероятность выбора точки, принадлежащей данной дуге окружности, зависит от длины дуги и пропорциональна ей. Пусть – абсцисса выбранной точки. Найти функцию распределения и функцию плотности вероятности случайной величины .

■

19) За время (продолжительность наблюдения) сигнал приходит с вероятностью ; сигнал появляется в любой точке промежутка с одинаковой плотностью вероятности. Известно, что в момент сигнал еще не появился. Найти вероятность того, что он появится за оставшееся время .

■ .

20) Случайная величина удовлетворяет неравенству . Известно, что каждое из значений -2 и 2 она принимает с вероятностью . Кроме того, в интервале случайная величина имеет распределение с постоянной плотностью. Составить функцию распределения и построить ее график.

■

Найти: ■ 0,375; 0,875; 0,5.