Критерии сходимости Вейерштрасса монотонной последовательности.

Монотонная и ограниченная последовательность является сходящейся

Доказательство:

{x_n}- монотонная и ограниченная, пусть {x_n}-возрастающая

x_n< x_n+1, n

{x_n}- ограничена т-ма Бальзана => ! Inf {x_n}, sup{x_n}, m=inf{x_n}, M=sup{x_n} =>

Докажем:

Возьмём . Тогда , так как M=sup{x_n}, то

Так как -возрастающая, то ,

, то есть,

Теорема о роли бесконечно малой в теории пределов (об эквивалентности утверждений: и , где -бесконечно малая при

Функция f(x) имеет A-const, α(x) – бесконечно малая.

Доказательство:

А) Необходимость.

|f(x)-A|< є f(x)-A→0, x→a

α(x)=f(x)-A=> f(x)=A+α; α(x)→0, x→a

Б) Достаточность.

f(a)=A+ α(x)

(Доказать)

Пусть є>0, α(x) – б.м. существует δ |x-a|< δ=>| α(x) |< є

α(x)=f(x)-A=> |f(x)-A|< є =>

Первый замечательный предел.

Предел отношения синуса бесконечно малой величины к самой этой величине равен 1

причем значения аргумента х берутся в радианах.

Рассмотрим в координатной плоскости круг R с центром в начале координат. Если OA=R, , 0<x<, ACOA, то плоскость плоскости сектора OAB<плоскости т.е. , отсюда sin(x)<x<tg(x), или .

В силу чётности функций и это неравенство справедливо и для . Перейдя в этом неравенстве к пределу при и заметив, что в сил непрерывности функции cos(x) при x=0 имеет место равенство , получим что равносильно начальному равенству.

Следствие из первого замечательно предела.

Теорема о произведении двух сходящихся последовательностей

Если , - сходящиеся последовательности, то и , то

Доказательство:бесконечно малая, бесконечно малая.

-бесконечно малая как линейная комбинация бесконечно малых.

-б.м.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Критерий сходимости последовательности Коши

Теорема о непрерывности и дифференцируемости функции одного аргумента в данной точке

Теорема о производной сложной функции.

Пусть U(x) имеет производную в U’(x) в некоторой точке х₀ , y=f(u) имеет производную f’_U = y’_U , соответствует точка U0=U(x0). Тогда функция f[U(x)] будет иметь производную в точке x0.

f’(x₀)=f’_U(U₀)*U’_X(x₀) или f’[U(x)]=f’_U(U)*U’_X(x)

Док-во: Пусть переменная

Теорема о дифференцируемости произведения двух функций. Теорема о производной произведения двух функций

Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй:

Если y=uv то y’=u’v+uv’.

Доказательство: для значения аргумента x+ получим

Y=uv,

Y+,

,

,

Т.к u и v не зависят от

Рассмотрим последний член в правой части

Так как u(x) – дифференцируемая функция, то она непрерывна. Следовательно

Кроме того

Таким образом рассматриваемый член равен нулю и мы окончательно получаем

Необходимый признак дифференцируемости ф-ии в точке

Теорема Ферма

Если функция y=f(x):

1) Непрерывна в замкнутом промежутке [a;b],

2) В некоторой внутренней точке с этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения,

3) Дифференцируема в этой точке,

то производная функции в этой точке равна нулю: f^|()=0.

Доказательство:

Пусть функция y=f(x) определена в ; в функция принимает наибольшее значение.

: Тогда

Если , то

Если , то *

По определению функция y=f(x) дифференцируема

Перейдём в неравенство * к пределу ;

.

!Если в точке функция принимает наименьшее значение, то доказательство такое же.